L'objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant: lim (lnx/x)=0
x tend vers +00
Partie A: étude de fonction:


V=racine carrée

On considère la fonction f définie sur ]0; +00[ par f(x)= lnx - Vx

1. calculer f'(x) et montrer que l'on a f'(x)= (2-Vx)/2x

2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0;+00[ (les limites ne sont pas demandées)

3.justifier alors que, pour tout x de ]0;+00[, on a: lnx < Vx


Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaison:

1.démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a:

0< lnx/x < 1/Vx

2. Démontrer lim (1/Vx)quand x tend vers +00.
En déduire lim (lnx/x) quand x tend vers +00.

Réponse:

Partie A:

1/ f'(x) = 1/x - 1/2Vx
f'(x)= 2/2x - 1/2Vx et la je dois faire comment pour arrivé à 2-Vx /2x?

2/ le tableau de variation def: la vaeur qui s'annule d ela dérivée c'est V2
dans le tableau du signe d ela dérivée, cela donne + et - soit la fonction f croissante jusqu'en V2 et puis décroissante jusqu'à +00.

3/ de 0 à V2 la fonction f est croissante et de V2 à +00 on a vu que la fonction f était décroissante donc lnx < Vx
Je n'arrive pas à l'expliquer..

Partie B:

1/ ..

2/ lim (1/Vx) = 0. car lim 1/x =0
quand x tend vers +00

donc lim lnx/x= 0


J'aimerai vrément que l'on m'aide à justifier ..

Merci.