Variations d'une fonction

[Aureliag2b]

Bonsoir tout le monde ! J'ai un dm à faire pour la rentrée et je bloque complètement sur un exercice! Voice l'énoncé:
On considère la fonction définie par: f(x)= 2x+ 8/x

1) Donner le domaine de définition. Justifier.
2) Étudier ses variations sur ]0;2] par "la méthode de la différence" .
(On montrera par exemple
f(a)- f(b)= (2(a-b)(ab-4))/ab ).
3) Étudier ses variations sur [2; +l'inini[ toujours par la même méthode de la différence.
4) En déduire son tableau de variation sur ]0; +l'infini[.
5) La fonction est-elle paire ou impaire? Justifier.
6) En déduire son tableau de variation sur son domaine de définition.
7) On note D la droite d'équation y= 2x. Déterminer la position relative de la courbe représentative de f et de D.

Pour le moment j'ai fait:
1) f est définie si et seulement si x différent de 0
Donc Df= R privé de 0.

2) soit a et b deux réels de ]0;2] tels que 0<a<b (c'est à dire a-b<0 et a>0 et b>0):
f(a)-f(b)= 2a + 8/a - (2b + 8/b)= 2a + 8/a - 2b - 8/b= (2a-2b) + (8b-8a)/ab= (2a-2b) - (8a-8b)/ab

Et à partir de là je suis bloquée... Quelqu'un pourrait m'aider svp :'(
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[Dinozzo13]

Bonjour. Avant tout, ta fonction est-elle bien ?
Pour la 1), pas de problème.
En ce qui concerne la 2), tu pars de la différence et tu l'écris sous la forme d'un quotient (donc sous la forme , où est le numérateur en fonction de et ). Ensuite, tu as deux possibilités :
i) soit tu réussis à factoriser pour avoir ce qui est demandé : ;
ii) soit tu développes pour montrer qu'effectivement, c'est bien égal à l'expression de .

Par exemple, si on te demande de montrer que, quel que soit le réel , sans passer par la résolution explicite avec le discriminant (si tu l'as vue), tu as deux choix possibles :
i) soit partir du membre de droite et le développer pour obtenir le membre de gauche : ;
ii) soit partir du membre de gauche et le factoriser pour obtenir le membre de droite : .

[Aureliag2b]

En fait à partir de (2a-2b) - (8a-8b)/ab je sais que c'est égale à 2(a-b) mais le (8a-8b)/ab je n'arrive pas à le transformer

[ansset]

En fait à partir de (2a-2b) - (8a-8b)/ab je sais que c'est égale à 2(a-b) mais le (8a-8b)/ab je n'arrive pas à le transformer

bonjour,
tu ramène au même dénominateur en multipliant le premier terme par 1=ab/ab
(2a-2b) - (8a-8b)/ab=2(a-b)-8(a-b)/ab =
2(a-b)*ab/ab-8(a-b)/ab=
(2(a-b)ab-8(a-b))/ab=
2(a-b)(ab-4)/ab ( ici , on met 2(a-b) en facteur commun )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aureliag2b]

bonjour,
tu ramène au même dénominateur en multipliant le premier terme par 1=ab/ab
(2a-2b) - (8a-8b)/ab=2(a-b)-8(a-b)/ab =
2(a-b)*ab/ab-8(a-b)/ab=
(2(a-b)ab-8(a-b))/ab=
2(a-b)(ab-4)/ab ( ici , on met 2(a-b) en facteur commun )

Ah oui je vois ! Mais comment passe-t-on de ab-8 à ab-4 dans les dexu derniers résultats?

[ansset]

on a une soustraction 2(a-b)ab -8(a-b) , il n'y a pas de ab-8 en facteur !
-8(a-b)=2(-4)(a-b)) donc cela devient
2(a-b)ab+2(a-b)(-4)=2(a-b)(ab-4)

[Aureliag2b]

Ah oui d'accord je comprends mieux ! Merci beaucoup !

Du coup j'en ai déduit que f est décroissante sur ]0;2] et
Pour le 3) f est croissante sur [2;+l'infini[
Pour 4) j'ai fait le tableau de variations en espérant qu'il soir juste (je me suis aussi aidé de la calculette)
Pour le 5) j'ai fait f(-x)= 2(-x)+ 8/x = -2x +8/-x = -f(x) donc f est impaire.
Pour le 6) j'ai fait le tableautin de variations sur son domaine de définition (en espérant qu'il soit juste aussi).
Pour le 7) j'ai fait: Étudions le signe de f(x)-(2x) sur R privé de 0.
f(x)-(2x)= 2x + 8/x - 2x = 8/x
J'ai ensuite fait le tableau de signe et j'en sui venue à conclure que:
- Si x appartient à ]-l'infini;o[ f(x)-(2x) < 0 c'est à dire f(x)<(2x) donc f(x) est en dessous de la droite d'équation y=2x.
- Si x appartient à ]0;+l'infini[ f(x)-(2x) > 0 c'est à dire f(x)>((2x) donc f est au dessus de la droite d'équation y=2x.
- 0 est la valeur interdite donc f ne coupe pas la droite d'équation.

Voilà y a-t-il des erreurs? pour le 7) je ne suis pas sûr de la rédaction, est ce qu'on écrit vraiment f(x)-(2x) ou f(x)-y ?

[pallas]

f est une fonction ; f(x) est un nombre réel donc ta conclusion doit être formulée autrement :la courbe représentative de f ( pas de f(x) qui est un nombre ) située .... en dessous ( ou au dessus ) de la droite d'équation ......

[Aureliag2b]

f est une fonction ; f(x) est un nombre réel donc ta conclusion doit être formulée autrement :la courbe représentative de f ( pas de f(x) qui est un nombre ) située .... en dessous ( ou au dessus ) de la droite d'équation ......

Ah oui merci ! Et donc je garde le f(x)-(2x) ?

[ansset]

Ah oui merci ! Et donc je garde le f(x)-(2x) ?

ben, pour faire propre et répondre à la question telle qu'elle est posée, ce serait plutôt
"la courbe représentative de f" est au "dessus/dessous" de la droite d'équation .....

[Aureliag2b]

ben, pour faire propre et répondre à la question telle qu'elle est posée, ce serait plutôt
"la courbe représentative de f" est au "dessus/dessous" de la droite d'équation .....

Oui pour ça je suis d'accord mais pour determiner la position relative de la courbe et de la droite, je dois procéder par la différence de la courbe et de la droite, donc l'écriture " f(x)-(2x) " convient ou bien c'est
" f(x)-y " ? Parce que mon prof de math veut que ce soit bien redigé et ça m'embêterait de perdre des points pour ça

[ansset]

oui , oui pour la différence entre la courbe et la droite.

[Aureliag2b]

oui , oui pour la différence entre la courbe et la droite.

Merci beaucoup, cette aide m'est très précieuse, et j'ai une bonne ce sera grâce vous tous qui m'avez aidé