Somme de Riemann

[invite4e552635]

Bonjour, dans le cadre d'un exercice d'entrainement (ne pas perdre la main pendant les vacances ), je cherche à prouver que :

¹/_n ∑_k=0^n-1 f(^k/_n) = ∑_k=0^n-1 ( ∫_(k/n)^(k+1)/n f(^k/_n) dx )


J'ai expliqué d'une part que :

¹/_n ∑_k=0^n-1 f(^k/_n) = ¹/_n (f(0)+f(1/n)+...+f((n-1)/n))

Et d'autre part, que :

∑_k=0^n-1 ( ∫_(k/n)^(k+1)/n f(^k/_n) dx ) = ∫₀^1/n f(0) dx + ∫_1/n^2/n f(1/n) + ... + ∫_n-1¹ f((n-1)/n) dx


Mais je n'arrive pas a expliquer le lien entre ma 1ere, puis ma seconde explication



Si qq'un a une idée

Merci d'avance.
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[martini_bird]

Salut,

les intégrandes ne dépendent pas de x...

Cordialement.

[nissart7831]

Bonjour,

Pour chacune de tes intégrales, la fonction est évaluée en un point précis (0, 1/n, ...), elle ne dépend pas de x.
Pour l'intégration par rapport à x, elle peut donc être vue comme une constante.
Evalue donc les intégrales et tu verras le lien entre tes 2 expressions.

[EDIT] Zut, doublé par martini_bird.

[invite4e552635]

Puisque dans :

∑_k=0^n-1 ( ∫_(k/n)^(k+1)/n f(^k/_n) dx ) = ∫₀^1/n f(0) dx + ∫_1/n^2/n f(1/n) + ... + ∫_n-1¹ f((n-1)/n) dx

, chacune des mes intégrales ne dépendent pas de x, cela m'autorise à réécrire sous une forme telle que je n'aurais plus à prendre en compte que l'écart marqué pour chaque intégrale (toujours 1/n ) et donc, par exemple,

∫₀^1/n f(0) dx = (1/n)-0 f(0) = 1/n f(0) ... en el faisant pour chacune de mes intégrales, j'obtiens une somme similaire à ma 1ere explication =D

J'ai compris le raisonnement, en ésperant que je me soit bien exprimé, et que je n'ai pas fait d'incohérances ...

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]