Fonctions trigo

[dracomathis]

Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire pour lundi et je suis un peu bloqué...
Alors voilà l'énoncé :
On considère la fonction f(x)= 1/(sin x - cos x)^2
1) Démontrer que f est périodique de période pi
2) Préciser la parité ou l'imparité de f
3) Donner alors un domaine d'étude et son domaine de définition
4) Etudier la dérivabilité de f et calculer sa dérivée
5) Donner le signe de la dérivée
6) Donner le sens de variation de la fonction (tableau complet)
7) La représenter graphiquement

Alors j'ai réussi de la question 1 à la question 3 mais je voudrais avoir quelques précisions si possible pour cette question :
J'ai mis que nous allions l'étudier sur (0; pi) et qu'elle était définie sur R/pi/4 modulo 2pi

Après j'ai un peu de mal pour la suite... Pour la dérivabilité, j'ai dis quelle était ici dérivable sur le même ensemble que son ensemble de définition.
Mais que nous allions étudier sa dérivée uniquement sur don domaine d'étude, et donc ici elle sera dérivable sur (0;pi/4 ( U ) pi/4; pi)

Pour la dérivée, je trouve f'(x)= -2(cos x + sin x) ( sin x - cos x)^-3

Après, j'ai pensé à faire cela :
f'(x)= -2(cos x + sin x) ( sin x - cos x ) / -2 (sin x -cos x)^4

Du coup pour le signe je dois résoudre les équations :
cos x+ sin x = 0 ; je ne trouve pas de solution :/
sin x - cos x = 0 ; je trouve x = pi/4
-2 (sin x -cos x)^4 = 0 ; soit sin x - cos x = 0 et donc on trouve le même résultat qu'au dessus ?

Seulement, je suis bloqué pour la suite, pourriez-vous m'aider ?

Merci !
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[ansset]

ta fonction est bien défini sur R\{pi/4} mais comme tu montres sa périodicité il suffit de l'étudier sur [0;pi]\{pi/4}.

sinon


,
donc s'annule en ?
On peut retrouver ce résultat en appliquant les formules du type cos(x)=sin(pi/2-x) , cos(x)=-cos(pi-x) , etc....
pour trouver les solutions de sin(x)+cos(x)=0

[ansset]

ta fonction est bien défini sur R\{pi/4} mais comme tu montres sa périodicité il suffit de l'étudier sur [0;pi]\{pi/4}.

soit pour être plus précis sur [0;pi/4[U]pi/4;pi]

[dracomathis]

Merci beaucoup pour ta réponse !!
Je ne connaissais pas la première manière de faire et je m'en souviendrais
J'ai essayé de faire de la seconde façon mais j'arrive à cela et je suis de nouveau bloqué :
-cos (pi -x) = - sin x
cos (pi -x)= cos (pi/2 - x)
pi - x = pi/2 - x ou pi - x = -pi /2 +x
Mais dans la première équation, les x s'annulent et je ne vois pas comment m'en sortir :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

tes calculs sont faux
-cos(pi-x)=cos(x) diff de -sin(x) et
cos(pi-x) diff de cos(pi/2-x)
cherches un peu , tu dois pouvoir trouver sans qu l'on te donne la solution.
il faut que tu arrive à cos(x)=cos(?) ou sin(x)=sin(?)

[dracomathis]

Ok d'accord, mais du coup je ne comprends pas comment on peut résoudre cette équation puisque cos x = - sin x, donc pour moi si cos x = -cos(pi-x), alors on peut le remplacer dans l'équation de départ, non ?

[ansset]

j'ai compris ta confusion : ton f'(x) est le quotient de deux termes.
donc f'(x) n'est pas définie là ou le dénominateur s'annule.
il n'y a que le numérateur qui compte ET le signe du dénominateur.
attention ici ton domaine de définition est constitué de deux intervalles juxtaposés , rien n'interdit que ton f'(x) change de signe entre les deux.......
mais on ne peut pas dire que la dérivée "s'annule" au point ou elle n'est pas définie.

ps :en général si on a le produit de deux termes , la fonction s'annule quand l'un OU l'autre s'annule, pas nécessairement les deux en même temps.

[ansset]

si qui suppose que tu dois faire un tableau de signe de f' avec une ligne pour le numérateur et un ligne pour le dénominateur.
sachant qu'entre 0et pi , il y a un point ou elle n'est pas définie

[gg0]

Bonsoir.

Il aurait été plus simple de prendre comme domaine de définition ou bien . Un seul intervalle à considérer !!

Cordialement.

[ansset]

certes. très juste ! mais je suis passé directement à la question qu'il(elle) posait.

[dracomathis]

Ok d'accord merci beaucoup !! En fait, le numérateur s'annule en pi/4 et en 3pi/4 donc mon tableau de signes va être rapidement fait Mais j'avais (encore) un petit problème à résoudre la numérateur= 0 donc j'ai changé son expression en 2cos 2x

[ansset]

non, le numérateur ne s'annule pas en pi/4. ( qui n'est pas dans le domaine de définition )
( mais la dérivée n'a pas le même signe des deux cotés de ce point )
et il vaut mieux reprendre un des intervalles proposés par gg0, qui ne contient pas pi/4 comme ]pi/4;5pi/4[, intervalle ouvert sur lequel la fct est définie et dérivable en tout point.