Petit probléme avec les produits scalaires

nemesis974 · 25/04/2006 - 07h50

Bonjour,
Alors voila j'ai un exercice a faire mais je bloque voici l'enoncé:
ABC est un triangle isocéle en A, O est milieu de [BC] et E est le symetrique de A par rapport a O
1) Quelle est la nature de ABEC(j'ai trouvé c'est un losange]
2)demontrer que AB scalaire AC = 2AO²-AB² (la je bloque)
(je precise AB et AC sont des vecteurs mais j'arrive pas a faire la ptite fléche sur leur tête ^^)
Merci d'avance pour votre aide.

mécano41 · 25/04/2006 - 14h31

Bonjour,

Je te donne juste quelques indications :

Soit AH la projection de AB sur AC

$\vec{AB}\ .\ \vec{AC}\ =\ \overline{AB}\ .\ \overline{AH}\ =\ \overline{AB}\ .\ \overline{AB}\ .\ cos\ \widehat{A}\ =\ \overline{AB}^2\ .\ cos\ \widehat{A}$

que l'on doit trouver en fonction de AO et AB. Pour cela, dans le triangle ABC :

$\overline{BC}^2\ =\ \overline{AB}^2\ +\ \ \overline{AC}^2\ -\ 2\ \overline{AB}\ .\ \ \overline{AC}\ .\ cos\ \widehat{A}$

Comme AC = AB tu obtiens :

$\overline{BC}^2\ =\ 2\ .\ \overline{AB}^2\ -\ 2\ .\ \overline{AB}^2\ .\ cos\ \widehat{A}$

Tu remplaces BC par 2.BO et tu sors ce que tu cherches (voir plus haut) :

$\overline{AB}^2\ .\ cos\ \widehat{A}\ =\ \overline{AB}^2\ -\ 2\ .\ \overline{BO}^2$

Tu calcules BO en fonction de AB et AO, tu fais encore un peu de cuisine et c'est fini!

Bon courage

Josquin · 25/04/2006 - 22h50

Deux autres solutions, sans faire intervenir de point supplémentaire (les vecteurs sont en gras) :

1^ère méthode : avec la relation de Chasles

AB.AC = (AO + OB).(AO + OC) = AO² - OB²

(car AO et OC, et OB et AO sont orthogonaux, et OC = -OB)

Or, OB² = AB² - AO² (Pythagore)

Donc AO² - OB² = AO² - (AB² - AO²) = 2 AO² - AB².

2^e méthode : avec les formules de trigonométrie

AB.AC = AB² cos(CÂB) = AB² cos(2 BÂO) = AB² (cos²(BÂO) - sin²(BÂO))

Or cos(BÂO) = AO / AB
et sin(BÂO) = OB / AB

Donc AB² (cos²(BÂO) - sin²(BÂO)) = AB² ((AO / AB)² - (OB / AB)²) = AO² - OB² = 2 AO² - AB²

(Pythagore, comme dans la méthode 1)

Bon courage

Josquin