division euclidienne d'un polynôme par (x-a) qui ne tombe pas juste

[Seirios]

Salut à tous,
J'ai un petit problème de factorisation de polynôme :
Lorsque je divise un polynôme par où a est une racine évidente du polynôme, comment je fais lorsque la division euclidienne ne tombe pas juste ?
Par exemple lorsque j'ai Qu'est ce que je suis sensé faire après ? Parce que peut être divisé par
Merci d'avance
Phys2
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[matthias]

Déjà ça c'est faux.
C'est

Mais je ne comprends pas ton problème. Que veux-tu faire ? Si tu voulais juste faire la division euclidienne de ton polynôme par (x-1), tu l'as fait c'est bon.
Si tu veux factoriser le polynôme , tu n'y arriveras pas aussi facilement.

[erik]

1 n'est pas racine de ton polynome, donc il est tout à fait normal qu'il y'ait un reste non nul quand tu divise celui ci par (x-1).

[matthias]

Et si tu veux vraiment factoriser ton polynôme, tu peux faire le changement de variable x = y + 3/2, tu retomberas sur une équation plus simple à résoudre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Sans prendre d'exemple (parce que je viens de me rendre compte que les miens sont faux : j'ai fait de petites erreurs très très bêtes ), imaginons que je cherche à factoriser un polynôme ; je trouve une racine évidente et je divise le polynôme par ; Est-ce possible que le résultat ne tombe pas juste ?

[erik]

Est-ce possible que le résultat ne tombe pas juste ?

Non,
Si a est racine du polynome P(x), alors P(x)/(x-a) est égale à un polynome (ce que tu appelles tomber juste).

C'est à dire : si a est racine de P(x), alors P(x)=(x-a)*Q(x), avec Q un polynome.

[Seirios]

Mais comment expliquer qu'un polynôme puisse être factorisé par (x-a) ?

[invite19431173]

Si a est une valeur telle que f(a) = 0, alors on peut être sur que la polynome est factorisable par (x-a) puisque quand x=a, le polynôme sera égal à 0.

Je ne sais pas si je réponds à ta question...

[Seirios]

Oui tu répond à ma question, c'est vrai que c'est tout simple quand on y pense.
Merci

[matthias]

Si a est une valeur telle que f(a) = 0, alors on peut être sur que la polynome est factorisable par (x-a) puisque quand x=a, le polynôme sera égal à 0.

Là tu démontres plutôt que si le polynôme est factorisable par (x-a) alors a est racine. Dans le sens inverse c'est quand même plus compliqué.

Soit on suppose connue la division euclidienne des polynômes et alors P(X) = (X-a)Q(X) + R(X) avec R de degré strictement inférieur à (X-a), c'est-à-dire R polynôme constant.
Comme P(a) = R(a) = 0, on a R(X) = 0, d'où P(X) = (X-a)Q(X).

Ou alors on peut démontrer directement que (X^k - a^k) est factorisable par (X-a) pour tout k strictement positif :


et donc si on a un polynôme tel que P(a) = 0, on a :



P(X) est donc lui aussi factorisable par (X-a).