Trouver K naturel tel que : 3n^2 + 3n + 7 = k^3

[AmazOuz]

Bonsoir à vous

Je m'exerce avec des problèmes donnés dans des olympiades de maths pour les élèves de Terminale. Je suis tombé avec ce problème dont j'ai testé deux méthodes sans arriver à une solution. n est un entier naturel, trouver un entier naturel k tel que :
3n^2 + 3n + 7 = k^3

1- J'ai déplacé le cube vers le 1er côté ça devient une equation du 2éme degré dont Delta = 12k^3 - 75 qui est positif quand k >= 2 l'une des deux racines est négative donc refusé, l'autre le delta doit être un carré parfait donc 12k^3 - 75 = z² je me suis arrêté ici tant que je n'ai pas trouvé de chemin :X

2- 3n(n+1) + 3*2 + 1 = k^3
n(n+1) est le produit de deux nombre successifs donc n(n+1) = 2z
Donc 6(z+1) + 1 = k3
k^3 = 1[6]

Pouvez vous m'aider SVP ?
Merci bcp
-----

[Seirios]

Bonjour,

Simplement une remarque : ici, k dépend de n, donc ta première méthode ne donne pas une équation du deuxième degré.

[danyvio]

Piste (non approfondie) :
Soustraire 1 à gauche et à droite

3n²+3n+6=k³-1
n²+n+2=(k-1)(k²+k+1)

Je ne garantis rien pour la suite... Bon dimanche

[gg0]

Suite non garantie, même en rectifiant : 3(n²+n+2)=(k-1)(k²+k+1).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Je pense que la question c'est plutôt "trouver n tel qu'il existe k ..."

Et j'ai l'impression qu'il n'y en a pas. J'ai testé pour n jusqu'à 10 millions et choux blanc.

[Médiat]

Et j'ai l'impression qu'il n'y en a pas. J'ai testé pour n jusqu'à 10 millions et choux blanc.

Ce qui se démontre facilement modulo 3

[danyvio]

Suite non garantie, même en rectifiant : 3(n²+n+2)=(k-1)(k²+k+1).

Cordialement

Ouch... pour moi

[AmazOuz]

Re,
Je me suis trompé de question, la question est "démontrer qu'il n'existe pas de K tel que : ...."
Dans ce cas là sinon je ne trouve pas comment 3(n²+n+2)=(k-1)(k²+k+1) m'aidera, je viens de me casser la tête => sans solution
Je suis arrivé (je l'ai déja cité) à k^3 = 1[6] comment est-ce possible de démontrer qu'il ne peut pas être un cube parfait ?
Merci

[Médiat]

Il suffit de remplacer k par 3k' + 1

[AmazOuz]

On pouvait utiliser la théoreme de Gauss si il y'avait 2 nombres premiers entre eux et conclure k = 1[3] mais dans ce cas là aucune idée.
Sinon je n'ai rien pigé à votre réponse je ne vois que le 3 partir des deux côtés...

[Médiat]

Si vous ne postez pas vos calculs, on ne peut pas savoir où vous vous trompez

[AmazOuz]

On a : 3(n²+n+2)=(k-1)(k²+k+1)
En remplaçant k par 3k' + 1 => n²+n+2 = k'(9k'²+9k' +3) je ne trouve pas d'issue

Sinon si on la change de la sorte : 3n(n+1) + 3*2 + 1 = k^3
n(n+1) est le produit de deux nombre successifs donc n(n+1) = 2z
Donc 6(z+1) + 1 = k^3
k^3 = 1[6] => on tire qq chose après cela ?!

Désolé pour le dérangement et merci pour votre attention

[Médiat]

n²+n+2 = k'(9k'²+9k' +3) ; on peut en conclure quelque chose sur n²+n+2, et trouver une contradiction

[AmazOuz]

n²+n+2 = 3k'(3k'² + 3k' + 1) => n²+n+2 = 0[3]

Et lorsque n = 0[3] => n²+n+2 = 2[3]
n = 1[3] => n²+n+2 = 1[3]
n = 2[3] => n²+n+2 = 2[3]
Donc n²+n+2 = 0[3] impossible donc pas de K non plus. Juste ?

Sinon de quel droit on peut dire qu'en remplaçant k par 3k'+1 tout est validé ?

[Médiat]

Parce que k, s'il existe, doit être congru à 1 modulo 3

[Tryss2]

La raison :

si k est congru à 0 modulo 3, k^3 est congru à 0
si k est congru à 1 modulo 3, k^3 est congru à 1
si k est congru à 2 modulo 3, k^3 est congru à 2

Mais k^3 est congru à 1 modulo 3, donc k est nécessairement congru à 1