Distributivité

[Tests]

Bonjour,
Je me demandé s'il existe une manière simple de prouver que k(a+b)=ka+kb.
Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

Dans quel ensemble ? Avec quels axiomes ? Dans l'arithmétique de Peano, cela se fait par une récurrence très simple. Dans IR, il faudrait savoir à partir de quelle construction...

Ceci pour vous dire qu'en mathématique il n'y a pas de bonne question qui ne soit une question précise

[Tests]

Je sais qu'il existe une démonstration utilisant des ensembles j'imagine qu'il se servent des axiomes de la théorie ZFC, mais malgré le fait que cette théorie soit très largement utilisée je trouve la démonstration pas très "parlante", par ailleurs l'arithmétique de Peano ne m'intéresse pas spécialement. Si tu as des démonstrations avec les axiomes de d'autres théories j'apprécierais que tu me les mettent dans ta réponse.
Merci.

[gg0]

Bonjour.

Dans la théorie des anneaux, c'est un axiome. Donc pas besoin de démonstration.
Sinon, tu n'as pas dit qui sont k, a et b.
Dans la théorie des espaces vectoriels on trouve souvent cette égalité comme un des axiomes aussi. Par contre, si k, a et b sont des vecteurs, et qu'on a donc un produit scalaire, c'est une conséquence de la définition du produit scalaire, et des propriétés des vecteurs. Si tu choisis ta définition, on peut envisager une preuve.

Rappel "en mathématique il n'y a pas de bonne question qui ne soit une question précise" (Médiat)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tests]

Dans ma question initiale je penser simplement à des nombres réels.

[Médiat]

Dans ma question initiale je penser simplement à des nombres réels.

Si on construit les réels comme les limites de suites rationnelles de Cauchy, cela découle directement de cette propriété pour les rationnels.

[Tests]

Merci Médiat pour ta réponse, il me vient une autre question. Avec l'égalité k(a+1) = ka+a peut t on prouver la distributivité de manière purement algébrique (en rajoutant une variable). Je pense que vaut prouver l'associativité de l'addition mais je n'en suis pas certain.

[gg0]

Essaie !

je ne sais pas ce que tu appelles "rajouter une variable". Si c'est remplacer 1 par b, c'est de la triche (dans presque tous les cas, b n'est pas 1). Donc présente ton calcul.

Cordialement.

[Tests]

Quand je dis "rajouter une variable" je pense aux manipulations du genre :
On met a=b+c-1, on a donc k((b+c-1)+1) = k(b+c) = k(b+c-1)+k mais je ne pense pas que cela mène quelque part.
Par contre en mettant a=b+1 (sans ajout de variable), on a k((b+1)+1) = k(b+1) + k = kb + k + k pour pouvoir écrire kb + k + k = kb + 2k et k((b+1)+1) = k(b+2) il faut démontrer l'associativité de l'addition. En répétant le processus on déduit que k(a+b) = ka + kb mais encore une fois s'il y a associativité de l'addition.

[Médiat]

Avec l'égalité k(a+1) = ka+a peut t on prouver la distributivité de manière purement algébrique

k(a+1) = ka + k, et cela fait partie de la définition de la multiplication dans l'arithmétique de Peano

[Tests]

Je me permet d'ajouter que j'ai également admis l'associativité lorsque j'ai écrit "k((b+c-1)+1) = k(b+c)". Cela ne permet donc pas de contourner ce problème.

[Médiat]

Bonjour,

Pour information, je disais ci-dessus que la distributivité des réels peut se démontrer à partir de la distributivité des rationnels (cela dépend de la méthode de construction des réels), la distributivité des rationnels se démontre à partir de la distributivité des entiers relatifs, qui se démontre à partir de la distributivité des entiers naturels, qui se démontre à partir des axiomes de Peano.

Je fais référence à https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome...tique_de_Peano


k(a + 0) = ka (axiome 4)
k0 = 0 (axiome 6)
ka = ka + k0 (axiome 4)

k(a + s(b)) = ks(a + b) (axiome 5)
ks(a + b) = k(a + b) + k (axiome 7)
k(a + b) + k = (ka + kb) + k (hypothèse de récurrence)
(ka + kb) + k = ka + (kb + k) (associativité de +, théorème qui se démontre facilement par récurrence)
ka + (kb + k) = ka + ks(b) (axiome 7)

Par l'axiome de récurrence (axiome 8), on en déduit

[Tests]

Je préfère amplement cette démonstration rigoureuse et très "parlante", merci à toi Médiat