Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

[Sundae10]

Bonjour, ayant un cahier de vacances à faire pour me préparer à la MPSI, je bloque sur un exercice pourtant assez banal :
Soit Un = 1/(1*2^1) + 1/(2*2^2) + 1/(3*2^3) + ... + 1/(n*2^n) pour tout n > 0

Montrer que la suite Un est croissante et majorée.

J'ai montré que la suite était croissante en effectuant une récurrence simple puis j'ai conjecturé que la suite était majorée par 1,
mais impossible de le démontrer, je bloque à chaque tentative de récurrence.

Merci d'avance pour les aides éventuelles.
-----

[gg0]

Bonjour.

Si ton hypothèse de récurrence est "majoré par 1", ça ne va pas marcher, puisque 1+ le terme suivant va dépasser 1. Il te faut majorer par quelque chose qui peut augmenter. Que penses-tu de 1-1/(2^n) par exemple.

Cordialement.

[Sundae10]

Bonjour, merci de votre réponse mais quand je pose P : " Un ≤ 1-1/(2^n) " pour tout n ≥ 1 j'arrive à faire l'initialisation mais je bloque encore sur l'hérédité :

On a donc par hypothèse Un ≤ 1-1/(2^n) et on sait que Un+1 = Un + 1/((n+1)*2^(n+1)) donc on part de Un+1 ≤ 1-1/(2^n) + 1/((n+1)*2^(n+1)) et on doit arriver à Un+1 ≤ 1-1/(2^(n+1)) mais malgré toutes mes opérations je n'arrive pas à ce résultat

[gg0]

Tu n'arrives pas à démontrer que
1-1/(2^n) + 1/((n+1)*2^(n+1)) ≤ 1-1/(2^(n+1)) ?
Travaille cette inégalité. Si nécessaire, regarde pour quelques valeurs de n ce que ça dit. Une indication : 1/(2^(n+1)) est exactement la moitié de 1/(2^n).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sundae10]

Bonsoir, merci beaucoup, j'ai finalement réussi grâce à vos indications !
Bonne soirée.