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Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

  1. Sundae10

    Date d'inscription
    août 2017
    Âge
    18
    Messages
    3

    Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

    Bonjour, ayant un cahier de vacances à faire pour me préparer à la MPSI, je bloque sur un exercice pourtant assez banal :
    Soit Un = 1/(1*2^1) + 1/(2*2^2) + 1/(3*2^3) + ... + 1/(n*2^n) pour tout n > 0

    Montrer que la suite Un est croissante et majorée.

    J'ai montré que la suite était croissante en effectuant une récurrence simple puis j'ai conjecturé que la suite était majorée par 1,
    mais impossible de le démontrer, je bloque à chaque tentative de récurrence.

    Merci d'avance pour les aides éventuelles.

    -----

     


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  2. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

    Bonjour.

    Si ton hypothèse de récurrence est "majoré par 1", ça ne va pas marcher, puisque 1+ le terme suivant va dépasser 1. Il te faut majorer par quelque chose qui peut augmenter. Que penses-tu de 1-1/(2^n) par exemple.

    Cordialement.
     

  3. Sundae10

    Date d'inscription
    août 2017
    Âge
    18
    Messages
    3

    Re : Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

    Bonjour, merci de votre réponse mais quand je pose P : " Un ≤ 1-1/(2^n) " pour tout n ≥ 1 j'arrive à faire l'initialisation mais je bloque encore sur l'hérédité :

    On a donc par hypothèse Un ≤ 1-1/(2^n) et on sait que Un+1 = Un + 1/((n+1)*2^(n+1)) donc on part de Un+1 ≤ 1-1/(2^n) + 1/((n+1)*2^(n+1)) et on doit arriver à Un+1 ≤ 1-1/(2^(n+1)) mais malgré toutes mes opérations je n'arrive pas à ce résultat
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 709

    Re : Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

    Tu n'arrives pas à démontrer que
    1-1/(2^n) + 1/((n+1)*2^(n+1)) ≤ 1-1/(2^(n+1)) ?
    Travaille cette inégalité. Si nécessaire, regarde pour quelques valeurs de n ce que ça dit. Une indication : 1/(2^(n+1)) est exactement la moitié de 1/(2^n).
     

  5. Sundae10

    Date d'inscription
    août 2017
    Âge
    18
    Messages
    3

    Re : Passage terminale/MPSI , problème sur une récurrence

    Bonsoir, merci beaucoup, j'ai finalement réussi grâce à vos indications !
    Bonne soirée.
     


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