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retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

  1. cosmoff

    Date d'inscription
    septembre 2012
    Messages
    270

    retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Bonjour,

    voila la surface d'une sphère est : , j'essaye donc de retouver cette formule avec le calcul intégrale mais j'obtiens comme résultat : ce qui correspond à un volume...

    voici ma démarche :
    pour obtenir la surface d'une portion de sphère infinitésimal, je fais , avec le rayon du contour de la sphère et dr une largeur infinitésimale. Ensuite varie en fonction de la position de la sphere, j'utilise donc pythagore, et j'ai : avec le rayon de la sphere.

    Je peux donc écrire mon intégrale :


    mais comme je vous l'ai dit ca ne marche pas... d'ou viens mon probleme ?

    merci d'avance pour votre aide

    -----

     


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  2. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 260

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    edit, à améliorer.
    Dernière modification par ansset ; 19/08/2017 à 15h00.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
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    57
    Messages
    23 260

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    en 1), j'ai l'impression que tu mélanges ta boule et ta sphère. ( donc, je suis mal ton calcul )
    pour la sphère, passer par les dr est "casse-geule"
    autant prendre la variation en
    le petit cercle à l'angle a pour surface

    l'intégrale entreet vaut

    soit

    car et

    pour la boule, il suffit d'intégrer cette valeur entre r=0 et r=R
    Dernière modification par ansset ; 19/08/2017 à 15h15.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. Dynamix

    Date d'inscription
    août 2014
    Messages
    9 727

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Salut

    Citation Envoyé par cosmoff Voir le message
    pour obtenir la surface d'une portion de sphère infinitésimal, je fais ,
    Si c' est une sphère le rayon est constant , donc tu as faux dès le départ .
    Si tu calcules une aire , tu dois obtenir une intégrale double .
     

  5. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 663

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Bonjour,
    Tu essaies de faire une intégration le long d'un des axes de la sphère, mais appeler r cette dimension qu'on fait varier (de -R à +R) est pour le moins malencontreux et accidentogène! Ce sera plus clair en l'appelant z..

    On a bien alors pour chaque petit ruban une circonférence de dimension 2.pi.racine(R²-z²)

    Mais l'erreur de calcul vient du fait que le ruban en question est incliné d'un angle theta par rapport à l'axe. Sa largeur ne vaut pas dz mais dz/cos(theta),
    En réexprimant ce cos(theta) en fonction de z (petit calcul de trigo facile), on va retrouver une intégrale qui donne le bon résultat
    Dernière modification par Resartus ; 19/08/2017 à 16h20.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     


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  6. Dynamix

    Date d'inscription
    août 2014
    Messages
    9 727

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    C' est plus simple en polaire . On doit aboutir à :
    dS = (R.dθ)(R.cosθ.dφ)
     

  7. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 260

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    C' est plus simple en polaire . On doit aboutir à :
    dS = (R.dθ)(R.cosθ.dφ)
    me semble que ce que j'ai proposé, non ?
    (sachant que le "dphi" revient à 2pi )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. Dynamix

    Date d'inscription
    août 2014
    Messages
    9 727

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    me semble que ce que j'ai proposé, non ?
    (sachant que le "dphi" revient à 2pi )
    Oui ça revient au même .
    Mais , en apparence , tu n' intègres qu' une fois , vu que la surface du "petit cercle à l'angle " résulte de l' intégration de
    Moi , je voulais montrer le détail du calcul .
     

  9. cosmoff

    Date d'inscription
    septembre 2012
    Messages
    270

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bonjour,
    Tu essaies de faire une intégration le long d'un des axes de la sphère, mais appeler r cette dimension qu'on fait varier (de -R à +R) est pour le moins malencontreux et accidentogène! Ce sera plus clair en l'appelant z..

    On a bien alors pour chaque petit ruban une circonférence de dimension 2.pi.racine(R²-z²)

    Mais l'erreur de calcul vient du fait que le ruban en question est incliné d'un angle theta par rapport à l'axe. Sa largeur ne vaut pas dz mais dz/cos(theta),
    En réexprimant ce cos(theta) en fonction de z (petit calcul de trigo facile), on va retrouver une intégrale qui donne le bon résultat
    oui c'est ca que je voulais dire. et j'ai compris ce que tu me dis, néanmoins dz est tellement petit que je pensais qu'on avait pas besoin de se préocuper du dz/cos(theta), et d'ailleurs lors du calcul du volume d'une boule, je ne me préoccupe pas du dz/cos(theta) mais je met tout simplement dz est la réponse est bonne, donc c'est bizarre...
     

  10. cosmoff

    Date d'inscription
    septembre 2012
    Messages
    270

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    merci ansset de ta solution, mais je ne comprend pas d'ou sort le :
     

  11. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Messages
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    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    Citation Envoyé par cosmoff Voir le message
    merci ansset de ta solution, mais je ne comprend pas d'ou sort le :
    le est le rayon du cercle à l angle
    le est "l'épaisseur" de ce cercle/cylindre infinitésimal.
    un petit dessin est parfois utile.
    Dernière modification par ansset ; 19/08/2017 à 17h16.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  12. cosmoff

    Date d'inscription
    septembre 2012
    Messages
    270

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    pourquoi une épaisseur et non
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
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    23 260

    Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

    parce que le rayon de la sphère est R et pas "1" !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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