retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

**cosmoff** · 19/08/2017, 14h26

Bonjour,

voila la surface d'une sphère est : $\text{[math]}$ , j'essaye donc de retouver cette formule avec le calcul intégrale mais j'obtiens comme résultat : $\text{[math]}$ ce qui correspond à un volume...

voici ma démarche :
pour obtenir la surface d'une portion de sphère infinitésimal, je fais $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ le rayon du contour de la sphère et dr une largeur infinitésimale. Ensuite $\text{[math]}$ varie en fonction de la position de la sphere, j'utilise donc pythagore, et j'ai : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ le rayon de la sphere.

Je peux donc écrire mon intégrale :
$\text{[math]}$

mais comme je vous l'ai dit ca ne marche pas... d'ou viens mon probleme ?

merci d'avance pour votre aide

**ansset** · 19/08/2017, 14h58

edit, à améliorer.

**ansset** · 19/08/2017, 15h14

en 1), j'ai l'impression que tu mélanges ta boule et ta sphère. ( donc, je suis mal ton calcul )
pour la sphère, passer par les dr est "casse-geule"
autant prendre la variation en $\text{[math]}$
le petit cercle à l'angle $\text{[math]}$ a pour surface
$\text{[math]}$
l'intégrale entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ vaut
$\text{[math]}$
soit
$\text{[math]}$
car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

pour la boule, il suffit d'intégrer cette valeur entre r=0 et r=R

**Dynamix** · 19/08/2017, 15h25

Salut

Envoyé par cosmoff

pour obtenir la surface d'une portion de sphère infinitésimal, je fais $\text{[math]}$ ,

Si c' est une sphère le rayon est constant , donc tu as faux dès le départ .
Si tu calcules une aire , tu dois obtenir une intégrale double .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Resartus** · 19/08/2017, 16h18

Bonjour,
Tu essaies de faire une intégration le long d'un des axes de la sphère, mais appeler r cette dimension qu'on fait varier (de -R à +R) est pour le moins malencontreux et accidentogène! Ce sera plus clair en l'appelant z..

On a bien alors pour chaque petit ruban une circonférence de dimension 2.pi.racine(R²-z²)

Mais l'erreur de calcul vient du fait que le ruban en question est incliné d'un angle theta par rapport à l'axe. Sa largeur ne vaut pas dz mais dz/cos(theta),
En réexprimant ce cos(theta) en fonction de z (petit calcul de trigo facile), on va retrouver une intégrale qui donne le bon résultat

**Dynamix** · 19/08/2017, 16h40

C' est plus simple en polaire . On doit aboutir à :
dS = (R.dθ)(R.cosθ.dφ)

**ansset** · 19/08/2017, 16h46

Envoyé par Dynamix

C' est plus simple en polaire . On doit aboutir à :
dS = (R.dθ)(R.cosθ.dφ)

me semble que ce que j'ai proposé, non ?
(sachant que le "dphi" revient à 2pi )

**Dynamix** · 19/08/2017, 16h59

Envoyé par ansset

me semble que ce que j'ai proposé, non ?
(sachant que le "dphi" revient à 2pi )

Oui ça revient au même .
Mais , en apparence , tu n' intègres qu' une fois , vu que la surface du "petit cercle à l'angle $\theta$ " résulte de l' intégration de dφ
Moi , je voulais montrer le détail du calcul .

**cosmoff** · 19/08/2017, 17h01

Envoyé par Resartus

Bonjour,
Tu essaies de faire une intégration le long d'un des axes de la sphère, mais appeler r cette dimension qu'on fait varier (de -R à +R) est pour le moins malencontreux et accidentogène! Ce sera plus clair en l'appelant z..

On a bien alors pour chaque petit ruban une circonférence de dimension 2.pi.racine(R²-z²)

Mais l'erreur de calcul vient du fait que le ruban en question est incliné d'un angle theta par rapport à l'axe. Sa largeur ne vaut pas dz mais dz/cos(theta),
En réexprimant ce cos(theta) en fonction de z (petit calcul de trigo facile), on va retrouver une intégrale qui donne le bon résultat

oui c'est ca que je voulais dire. et j'ai compris ce que tu me dis, néanmoins dz est tellement petit que je pensais qu'on avait pas besoin de se préocuper du dz/cos(theta), et d'ailleurs lors du calcul du volume d'une boule, je ne me préoccupe pas du dz/cos(theta) mais je met tout simplement dz est la réponse est bonne, donc c'est bizarre...

**cosmoff** · 19/08/2017, 17h03

merci ansset de ta solution, mais je ne comprend pas d'ou sort le :
$\text{[math]}$

**ansset** · 19/08/2017, 17h15

Envoyé par cosmoff

merci ansset de ta solution, mais je ne comprend pas d'ou sort le :
$\text{[math]}$

le $\text{[math]}$ est le rayon du cercle à l angle $\text{[math]}$
le $\text{[math]}$ est "l'épaisseur" de ce cercle/cylindre infinitésimal.
un petit dessin est parfois utile.

**cosmoff** · 19/08/2017, 17h41

pourquoi une épaisseur $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$

**ansset** · 19/08/2017, 17h50

parce que le rayon de la sphère est R et pas "1" !

**ppmacaron** · 03/05/2023, 08h13

Bonjour,
J'essaye de comprendre ce que vous avez écris, sans succès. Les intégrales ne sont pas mon point fort.. Serait-il possible de me l'expliquer de manière simple et efficace? Enfin d'expliquer le calcul de l'aire de la sphère par intégrale, en détaillant chaque étape?
Merci énormément pour vos réponses,
Bonne journée!

**gg0** · 03/05/2023, 10h05

Bonjour.

Le calcul est entièrement détaillé dans les messages précédents, dont le message #3. Si ça ne te suffit pas, c'est que les méthodes de base ne sont pas comprises, et donc qu'il faut que tu travailles ces bases. Éventuellement sur des exercices élémentaires.
Si je me trompe, rédige ici ton propre calcul, en notant ce qui te pose problème.

Cordialement

**albanxiii** · 03/05/2023, 11h20

Bonjour,

Le problème est peut-être plus dans l'utilisation des coordonnées sphériques que dans le calcul de l'intégrale qui est vraiment simple.

**gg0** · 03/05/2023, 12h43

Justement, ici, pas de coordonnées sphériques, juste l'utilisation de la géométrie élémentaire.

Cordialement.

retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

Re : retouver la surface d'une sphere avec le calcul intégrale

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