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Le juste nombre

  1. roxordu72

    Date d'inscription
    août 2017
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    3

    Le juste nombre

    Salut,
    J'aimerai avoir de l'aide concernant un problème de mathématique plutôt complexe à mon goût :

    Le principe est simple : choisis un nombre entier entre 1 et 1 million. Celui qui a le plus petit nombre gagne… si personne ne choisit le même nombre que lui

    J'aurai tendance à dire 1 mais sa me parait un peu trop facile ^^

    -----

     


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  2. eudea-panjclinne

    Date d'inscription
    novembre 2012
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    425

    Re : Le juste nombre

    La règle de ce jeu ne me parait pas clair. Je choisis un nombre, d'accord et ensuite, que se passe-t-il ? Quelqu'un d'autre choisit un nombre ?
    Admettons que plusieurs personnes choisissent indépendamment des autres le nombre 1 que se passe-t-il ?
     

  3. roxordu72

    Date d'inscription
    août 2017
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    17
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    3

    Re : Le juste nombre

    Enfaite c'est un jeu sur internet ou plusieurs personnes vont choisir un nombre entier entre 1 et 1 millions, et le but c'est de trouver le plus petit nombre que personne ne choisira pour gagner, pour les détails http://ow.ly/2ItV30eO6wL
     

  4. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
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    2 646

    Re : Le juste nombre

    Bonjour,

    Comme le remarque eudea, il peut y avoir au moins deux variantes : soit les titulaires de nombres égaux gagnent et dans ce cas, votre réponse ultra simple est la bonne, soit les titulaires de nombres égaux sont éliminés et là c'est un problème beaucoup plus compliqué, qui est ce qu'on appelle un équilibre de Nash.

    Il requiert ce qu'on appelle des stratégies mixtes, où la stratégie optimale des joueurs parfaits, serait que chacune choisisse son nombre de manière aléatoire, mais avec une certaine probabilité associée à chacun. Et le gain maximum théorique n'est alors que de 1/n où n est le nombre de joueurs.

    Il me semble intuitivement (par analogie avec des systèmes de particules en physique) que ces probabilités devraient suivre une répartition exponentielle, mais je ne vois pas comment le démontrer. Il doit falloir procéder par récurrence en augmentant progressivement le plafond autorisé.

    A noter aussi que si les joueurs ne sont pas parfaits et jouent différemment de cet optimum, on peut sur le long terme gagner plus qu'eux, en adaptant sa stratégie : mais cela devient encore plus compliqué.

    EDIT : je viens de voir votre réponse : cela devient encore plus vicieux, car il faut essayer de prendre en compte les superstitions liées aux chiffres : pour augmenter sa chance de gagner, il faut éviter de jouer les nombres les plus "banals" du point de vue du grand public (nombres inférieurs à 100, nombres faciles à retenir, dates de naissance, etc.)
    Dernière modification par Resartus ; 01/09/2017 à 07h55.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  5. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    16 818

    Re : Le juste nombre

    Bonjour,

    Pour compléter la réponse de Resartus, il suffit de considérer que chaque raisonnement que vous mènerez afin de déterminer un nombre peut être mené par un autre joueur et donc mener à une élimination, on peut donc :

    1) Tirer au sort (pas forcément équiprobable, donc avec une part de raisonnement, cf. le point 2))

    2) Tenir compte de données sociologiques, psychologiques etc., à un niveau global (si on ne connaît pas les autres joueurs), ou individuel si on les connaît, en tout état de cause ce ne sont plus des mathématiques.
    Dernière modification par Médiat ; 01/09/2017 à 08h23.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     


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  6. Deedee81

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    octobre 2007
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    Re : Le juste nombre

    Salut,

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Il me semble intuitivement (par analogie avec des systèmes de particules en physique) que ces probabilités devraient suivre une répartition exponentielle, mais je ne vois pas comment le démontrer. Il doit falloir procéder par récurrence en augmentant progressivement le plafond autorisé.
    J'ai la même intuition.

    On pourrait peut-être le calculer assez facilement sur un choix allant de 1 à 4 (par exemple), avec deux joueurs, en dressant le tableau des stratégies (élémentaire ici), des variables de probabilités de gain, en calculant l'espérance de gain, et enfin en calculant l'optimum. Puis on essaie de généraliser.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  7. roxordu72

    Date d'inscription
    août 2017
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    3

    Re : Le juste nombre

    Je n'ai pas très bien compris l'énoncé, il demande de choisir un nombre entre 1 et 1 million, et si on à le plus petit on gagne donc logiquement tout le monde va choisir le nombre 1 qui est le petit
     

  8. SULREN

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    août 2014
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    Proche Toulouse au Nord Ouest
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    Re : Le juste nombre

    Bonjour,
    Justement :
    Tous les « neuneus » qui se croient malins vont choisir 1 et ils vont perdre, puisqu’il faut être le seul à avoir choisi le nombre.
    PetitMalin2 va donc éviter le 1 et prendre 2…..et il va perdre parce que :
    PetitMalin3 va se dire qu’il ne doit pas être le seul au monde à être petit malin et donc que quelqu’un d’autre que lui a compris qu’il fallait éviter le 1 et qu'il a pris 2. Il va donc choisir 3. Mais il va perdre aussi parce que :
    PetitMalin4 va faire pareil…..et perdre.
    ……
    PetitMalinN va effectuer un calcul complexe pour calculer combien de petits malins existent. Il trouve N-1 et donc choisit N et gagne.

    PS : Et moi je gagne en ne jouant pas, parce que je ne me considère pas comme assez malin.
    Dernière modification par SULREN ; 01/09/2017 à 11h25.
     

  9. Deedee81

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    octobre 2007
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    Re : Le juste nombre

    Citation Envoyé par roxordu72 Voir le message
    Je n'ai pas très bien compris l'énoncé, il demande de choisir un nombre entre 1 et 1 million, et si on à le plus petit on gagne donc logiquement tout le monde va choisir le nombre 1 qui est le petit
    Non, on gagne si on a le plus petit nombre non choisi par les autres. Il n'y a qu'un point qui n'est pas clair.
    Supposons que les joueurs aient choisi 1, 1, 2 et 3.
    Ceux qui ont choisi 1 ne gagnent pas (ils sont deux).
    Mais est-ce qu'il n'y a aucun gagnant ou bien c'est celui qui a choisi 2 ?

    Il serait intéressant aussi de voir si ces deux variantes conduisent à de fortes différences dans les stratégies mixtes, amha pas beaucoup, mais il faut vérifier.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  10. Deedee81

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    Re : Le juste nombre

    Citation Envoyé par SULREN Voir le message
    PetitMalinN va effectuer un calcul complexe pour calculer combien de petits malins existent. Il trouve N-1 et donc choisit N et gagne.
    PS : Et moi je gagne en ne jouant pas, parce que je ne me considère pas comme assez malin.
    Le mieux est de jouer 1 avec une probabilité p1, 2 avec une probabilité p2, etc.... (somme des p1 = 1 évidemment).
    C'est une stratégie mixte.
    Mais il faut encore calculer les pi.
    (et là il faut être GrosMalinQuiAAssezDeTempsPourL eFaire )
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  11. Deedee81

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    Re : Le juste nombre

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Le mieux est de jouer 1 avec une probabilité p1, 2 avec une probabilité p2, etc.... (somme des p1 = 1 évidemment).
    Dans l'hypothèse évidemment des "joueurs parfaits". Car si je peux observer le jeux et que je vois qu'ils sont tous très bêtes et jouent tous systématiquement 1, hé bien, je vais me joindre au jeu et jouer 2 systématiquement.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  12. Tryss2

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    Re : Le juste nombre

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Non, on gagne si on a le plus petit nombre non choisi par les autres. Il n'y a qu'un point qui n'est pas clair.
    Supposons que les joueurs aient choisi 1, 1, 2 et 3.
    Ceux qui ont choisi 1 ne gagnent pas (ils sont deux).
    Mais est-ce qu'il n'y a aucun gagnant ou bien c'est celui qui a choisi 2 ?

    Il serait intéressant aussi de voir si ces deux variantes conduisent à de fortes différences dans les stratégies mixtes, amha pas beaucoup, mais il faut vérifier.
    Dans la variante ou il n'y a aucun gagnant, la bonne stratégie, c'est de jouer tout le temps 1.

    - Si personne d'autre ne joue 1, je gagne
    - Si quelqu'un d'autre joue 1, il n'y a pas de gagnant, mais je n'aurai tout de façon pas gagné avec un autre choix que le 1
     

  13. SULREN

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    275

    Re : Le juste nombre

    Re,
    En effet j’avais aussi tout faux, hormis de dire que le mieux serait de ne pas jouer.

    On ne voit pas quel type de stratégie pourrait faire gagner. Mais un ingénu chanceux peut gagner.

    Même la stratégie consistant à tricher en prenant une infinité d’avatars afin de pouvoir jouer tous les nombres en partant de 1, n’aurait de chance de gagner que si personne d’autre ne l’adopte……à moins d’avoir un infini plus haut que celui des autres,…..mais cela n’a pas de sens.
     

  14. Médiat

    Date d'inscription
    août 2006
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    Re : Le juste nombre

    Bonjour,

    Citation Envoyé par SULREN Voir le message
    à moins d’avoir un infini plus haut que celui des autres,…..mais cela n’a pas de sens.
    Intéressant que vous fassiez cette remarque, dans une autre vie j'utilisais un exemple du même genre pour faire comprendre la notion de nombres ordinaux infinis, et d'infini plus grand qu'un autre.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
     

  15. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
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    Re : Le juste nombre

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Dans la variante ou il n'y a aucun gagnant, la bonne stratégie, c'est de jouer tout le temps 1.

    - Si personne d'autre ne joue 1, je gagne
    - Si quelqu'un d'autre joue 1, il n'y a pas de gagnant, mais je n'aurai tout de façon pas gagné avec un autre choix que le 1
    Mais tu aurais pu gagner en jouant 4 par exemple dans le deuxième cas.
    Je suis persuadé qu'une stratégie mixte reste meilleure (je n'ai malheureusement pas le temps de calculer ça, en plus pour N petit, c'est assez facile, mais je ne suis pas sûr que ce soit facile de généraliser à N quelconque).
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     


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