implicatin inegalité

[hass hass]

svp est ce que vous pouvez me donner une indication pour montrer que

x^2+y^2+xy=1implique que x^3y+xy^3 >= -2
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[jacknicklaus]

idées :
1) commence par déduire de x²+xy+y² = 1 un encadrement très simple de xy :
?? <= xy <= ??
2) puis cherche une factorisation de x^3y + y^3x
3) met en oeuvre le 1) dans le 2).

[hass hass]

merc pour votre reponse
svp plus de detail sur cet encadrement de xy

[jacknicklaus]

je te met sur la piste pour une des 2 inégalités à trouver :

(x+y)² = x² + 2xy + y² >=0 quelque soient x et y
utilise habilement x²+xy+y² = 1 pour faire apparaître un (x+y)². tu peux en déduire l'inégalité xy >= ..
même idée pour l'inégalité xy <= ...

à toi de jouer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hass hass]

ca me donne en posant t=xy
-1<= t <= 1/3
d'autre part x^3y+xy^3>= -.2 si et seulement si t(1-t)>=-2
cad -t^2+t +2 >=0
soit (t+1)(2-t) >=0
donc -1<= t <2

très reconnaissant pour votre aide et merci