Logique et raisonnement mathématique

[Yoshs]

Salut
Depuis un moment j’ai commencé à m’intéresser à la logique et au raisonnements mathématique qu’on utilise dans les démonstrations, je connais quelque un (par l’absurde,contraposée,disjonct ion des cas ... )
Et par conséquent il y a plusieurs questions qui me passent par la tête et dont j’ai pas encore trouvé les réponses,c’est pourquoi je suis venu sur ce forum,voici certaines de ces questions:
Quelle est la liste complète de tous les raisonnements mathématique, je voudrais les connaître tous ?
Comment ont ils était inventé(découvert) ? Et par qui ? Et comment on sait qu’ils sont justes ? Est ce que on découvre des nouveaux raisonnements de nos jours , si oui quel est le dernier découvert ? Est ce que chaque raisonnements ne peut servir à démontrer que certain type de proposition,ou alors alors on peut tous (quasiment tous -théorème de godel-)démontrer avec n’importe quel raisonnements ?
J’espere Que je me suis bien exprimer et que mes questions sont compréhensibles.
Merci d’avance pour vos réponses.
-----

[gg0]

Bonjour.

Il existe de très nombreuses méthode de raisonnement mathématique. Tu en rencontreras au cours de tes études. L'expression "raisonnement mathématique" est trop floue pour qu'on puisse faire une liste complète (où s'arrêter ?). On peut considérer que la discipline appelée "logique" est l'étude de ces raisonnements. C'est une discipline constamment en développement.
Pour beaucoup de méthodes, il est difficile de savoir quand et par qui elles ont été employées pour la première fois. par exemple, la preuve par récurrence est tellement liée à la construction des entiers qu'elle a été employée spontanément sans doute des siècles avant d'être mise en exergue comme fondant les entiers par Peano. De plus elle est équivalente à d'autres théorèmes (appliquer un théorème est une méthode de preuve).

"comment on sait qu’ils sont justes ?" Au fond, on n'a pas de preuve, au moins pour les raisonnements élémentaires. Mais tout le monde est d'accord par exemple que A et A implique B permet de déduire B. Si un raisonnement est contestable, il est tout de suite contesté (on l'applique dans un cas qui montre que ça coince !).

" Est ce que chaque raisonnements ne peut servir à démontrer que certain type de proposition,ou alors alors on peut tous (quasiment tous -théorème de godel-)démontrer avec n’importe quel raisonnements ?" Ni l'un ni l'autre. On fait ce qu'on peut. C'est la même chose avec les calculs. A ton avis " Est ce que chaque calcul ne peut servir à obtenir que certains type de résultats, ou alors on peut tout calculer avec n’importe quel calcul ?"
Attention aussi avec l'allusion au théorème de Gödel. si tu ne connais pas la logique, en parler ne fera que montrer ton incompréhension (comme ici avec le "presque").

Cordialement.

[Yoshs]

Merci pour votre réponse
Cependant j’ai pas très bien compris la dernière partie
Ce que je voulais dire c’est par exemple est ce que juste avec le raisonnement par l’absurde je peux tous démontrer ou alors au bout d’un moment faudrait utiliser un autre type de raisonnement
(Autrement dit est ce que pour tous les exercices ou on me demande de démontrer quelque chose le raisonnement par l’absurde me suffira pour tous les résoudre,ou bien existe-t-il un cas oú je devrais impérativement utiliser un autre type de raisonnement ?
Cordialement

[gg0]

Tu essayeras !

Tu verras vite que c'est très pénible !

Mais un peu de réflexion sur ta pratique scolaire aurait dû te permettre de savoir et de ne pas poser cette question.
C'est comme dans la vie, on fait ce qui sert à ce qu'on veut obtenir, pas toujours la même chose.

Je te conseille d'oublier cette réflexion (qui me semble être "qu'est-ce que je vais devoir faire" alors que tu ne sais même pas pourquoi tu le ferais) et de revenir un peu sur terre !! Raisonnable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yoshs]

C’est bizarre
J’ai l’impression que tu as repondu à autre chose que ma question.c’est pas ce à quoi je m’attendais comme reponse.
"Mais un peu de réflexion sur ta pratique scolaire aurait dû te permettre de savoir et de ne pas poser cette question.
C'est comme dans la vie, on fait ce qui sert à ce qu'on veut obtenir, pas toujours la même chose."
Excuse moi d’avoir posé des questions qu’il ne fallait pas "de ne pas poser cette question." je ne suis qu’en seconde.
"revenir un peu sur terre !! Raisonnable*"excuse moi , mais dans mon message j’ai pas l’impression d’avoir été arrogant ou de vous avoir pris de haut. Je ne comprends pas votre réaction.
Cordialement

[gg0]

Je ne parle pas d'arrogance, mais de l'inutilité de poser des questions totalement générales sur une discipline qu'on commence. Tes questions ressemblent à celles d'un apprenti musicien qui veut apprendre à jouer seul une symphonie. Ou à un cavalier débutant, monté un jour sur un cheval et qui prétend dompter un cheval sauvage.
Je cherche juste à réfréner ton enthousiasme, à te dire que tu te poses bien trop tôt des questions dont une partie se résoudra par la pratique, et l'autre est difficile, voire sans réponse actuellement.

Attention, il y a deux niveaux dans ma réponse : Une réponse sur le fait d'employer toujours la même méthode (réponse que tu aurais pu trouver seul), et un conseil très général, prendre le temps de faire des démonstrations sur des sujets différents avant de vouloir généraliser. Surtout si tu es en seconde, donc que tu n'as quasiment pas pratiqué la démonstration (*)

Cordialement.

NB : Tu peux évidemment lire des ouvrages de logique, tu manqueras probablement de culture mathématique pour bien comprendre, mais tu peux en tirer des connaissances fortes. Pour ce qui est de la "démonstration", il n'y a pas d'ouvrage général. Et pour cause ... les démonstrations, on les fait.

(*) Ne fais pas comme l'anglais qui débarquant à Calais et voyant deux femmes rousses en conclut que toutes les françaises sont rousses.

[Yoshs]

Excuse moi d’avoir mal compris .
Tu pourrais me proposer des ouvrages en logique qui pourrait me convenir,et que tu trouves intéressant.
Cordialement

[gg0]

Soit tu prends des ouvrages fondamentaux, mais ils supposent une habitude du raisonnement, soit tu peux prendre les ouvrages de Smullyan, genre "quel est le titre de ce livre ?", ou "le livre qui rend fou", qui font raisonner sur des situations de plus en plus compliquées. L'un des deux, il me semble, est une introduction au théorème de Gödel, sous forme ludique (seulement une introduction).

Et puis tu peux aussi faire des maths plus théoriques que ce que tu fais en seconde, ou chercher à participer à des concours de mathématiques (très formateur sur le raisonnement).

Cordialement.

[Pcstar]

Tu ne peux pas tout démontrer par l'absurde.... parfois tu es bloqué et tu ne peux plus avancer avec tes hypothèses. Une fois que tu les a toutes exploitées et que tu n'arrive pas a conclure c'est le signe qu'il faut un raisonnement plus pratique pour achever la démo . De plus en "raisonnement phare" il y a la récurrence tu la verras en term si tu vas en S et si tu enchaines avec une prépa tu apprendras a démontrer que ce raisonnement fonctionne ^^

[Yoshs]

Oh merci énormément,c’était la réponse que j’attendais. sinon c’est quoi "raisonnablement phare"?

[Pcstar]

J'ai fait une faute de frappe je voulais dire "raisonnement" ^^. Apres je suis en 2eme année de prepa et notre prof nous a donné une sythese des raisonnements que l'on emplois en maths ( 99% des cas) je pourrai la mettre en ligne si tu veux

[Yoshs]

Ah oui , si tu pouvais mettre en ligne la synthèse ça serais avec grand plaisir.
Et merci énormément 😀👍

[Pcstar]

Ouais la je l ai pas sous la main mais je te le mets d'ici 1 semaine

[Médiat]

Bonjour,

Tu De plus en "raisonnement phare" il y a la récurrence tu la verras en term si tu vas en S et si tu enchaines avec une prépa tu apprendras a démontrer que ce raisonnement fonctionne ^^

Du point de vue de la logique, la récurrence n'est pas un mode de raisonnement.

[Deedee81]

Salut,

Du point de vue de la logique, la récurrence n'est pas un mode de raisonnement.

Ah ? C'est une question d'habitude (dans le classement de ce qu'on appelle "mode de raisonnement" en logique) ou bien y-a-t-il une raison plus profonde ?

[Médiat]

Quand on applique une récurrence à la formule f, en fait on utilise un axiome de AP (après avoir démontré f(0) et f(n) => f(n+1), par la méthode la mieux adaptée, mais qui n'a, en général, rien à voir avec la récurrence), pas un mode de raisonnement logique (valide pour toutes les théories).

[gg0]

Bonjour.

Un certain nombre de raisonnements en mathématiques sont des applications de théorèmes, c'est le cas de la preuve par récurrence, qui applique le théorème :
"Soit A un ensemble d'entiers. Si
et
alors . "

Quelques outils logiques utilisés fréquemment dans les preuves :
la transitivité de l'implication et de l'équivalence; et la symétrie de l'équivalence
la contraposition; en particulier la contraposition de (non A) ==> (propriété "fausse"), souvent appelée raisonnement par l'absurde
la règle logique du modus ponens : de A et (A ==> B) je déduis B
la définition de l'implication sous la forme (propriété "fausse")==> A

je pense que Médiat, qui connaît mieux le sujet, pourra compléter, et aussi donner une forme correcte à ce que j'ai écrit de façon assez intuitive ci dessus.

Cordialement.

Rajout : je vois qu'il a déjà commencé

[Deedee81]

Quand on applique une récurrence à la formule f, en fait on utilise un axiome de AP (après avoir démontré f(0) et f(n) => f(n+1), par la méthode la mieux adaptée, mais qui n'a, en général, rien à voir avec la récurrence), pas un mode de raisonnement logique (valide pour toutes les théories).

D'accord, j'ai compris.

Merci,

[Médiat]

Bonsoir,

Un certain nombre de raisonnements en mathématiques sont des applications de théorèmes, c'est le cas de la preuve par récurrence, qui applique le théorème :
"Soit A un ensemble d'entiers. Si
et
alors . "

Cette formulation de la récurrence est la récurrence du second ordre (avec quantification sur les sous-ensembles), strictement plus puissante que les axiomes de récurrence du premier ordre. Dans les deux cas il s'agit d'axiomes d'une théorie (arithmétique de Peano, du second ou du premier ordre).

Les modes de raisonnement sont des axiomes ou des théorèmes de la logique comme ceux énumérés par gg0

[andretou]

Salut
Depuis un moment j’ai commencé à m’intéresser à la logique et au raisonnements mathématique qu’on utilise dans les démonstrations, je connais quelque un (par l’absurde,contraposée,disjonct ion des cas ... )
Et par conséquent il y a plusieurs questions qui me passent par la tête et dont j’ai pas encore trouvé les réponses,c’est pourquoi je suis venu sur ce forum,voici certaines de ces questions:
Quelle est la liste complète de tous les raisonnements mathématique, je voudrais les connaître tous ?
Comment ont ils était inventé(découvert) ? Et par qui ? Et comment on sait qu’ils sont justes ? Est ce que on découvre des nouveaux raisonnements de nos jours , si oui quel est le dernier découvert ? Est ce que chaque raisonnements ne peut servir à démontrer que certain type de proposition,ou alors alors on peut tous (quasiment tous -théorème de godel-)démontrer avec n’importe quel raisonnements ?
J’espere Que je me suis bien exprimer et que mes questions sont compréhensibles.
Merci d’avance pour vos réponses.

Bonjour Yoshs
Permets-moi de te féliciter pour la pertinence de ta question.
La capacité de raisonner est au coeur de la pensée humaine, pour le sage c'est ce qui le différencie du fou, c'est le fondement même de notre civilisation.
Les Grecs d'Ionie (Thalès, Anaximandre, Pythagore...) sont les premiers, il y a 27 siècles, à avoir tenté d'apporter des réponses raisonnées à leurs questionnements, et tout particulièrement au plus essentiel de tous : "D'où venons-nous ?". Ainsi est née la philosophie, dont la vocation originelle était de comprendre le pourquoi et le comment des choses par-delà les mythes sacrés et les religions.
Rapidement, l'emploi du raisonnement montra certaines limites. Des penseurs tels Zénon d'Elée exhibèrent de redoutables paradoxes (par exemple celui de la flèche ou celui d'Achille et de la tortue), tandis que Protagoras et les sophistes s'exerçaient à démontrer une chose et son contraire.
En réaction, Platon puis Aristote vont mettre de l'ordre dans tout ça et définir en particulier deux principes fondamentaux permettant de valider un raisonnement :
1/ le principe de causalité : tout effet est précédé d'une cause ;
2/ le principe du tiers exclu : toute proposition ne peut être que soit vraie, soit fausse.

Pendant plus de 2 millénaires, le savoir occidental va ainsi se développer sur ces bases sans que nul ne songe à les remettre en question tant elles paraissent évidentes, en mathématiques comme en physique, en philosophie comme en théologie.
A partir du XIXème siècle cependant, les choses commencent à se gâter.
D'abord, certains ont en effet l'audace de remettre en cause le 5ème postulat d'Euclide, contestant le caractère absolu et la portée universelle du théorème de Pythagore (Bolyaï, Lobatchevski, Riemann).
Puis, en 1931, Gödel démontre qu'il est impossible de fonder une théorie mathématique 100% cohérente sur un système axiomatique complet, invalidant ainsi le principe aristotélicien du tiers exclu puisqu'on sait désormais que dans toute théorie il existe nécessairement au moins une proposition indécidable (pour laquelle il est impossible de démontrer qu'elle est vraie ou qu'elle est fausse).
Puis, en 1982, le physicien Alain Aspect démontre qu'il n'existe pas de paramètres cachés régissant le comportement aléatoire des objets quantiques (tels que les noyaux radioactifs), invalidant ainsi le vieux principe selon lequel tout effet est précédé d'une cause.

Alors aujourd'hui sur quoi faut-il s'appuyer pour valider un raisonnement ? Existe-t-il un critère absolu qui permettrait de trancher ? Mais trancher sur quoi, puisque depuis Gödel on sait qu'il existe au moins une alternative au vrai et au faux ? Et d'ailleurs le vrai et le faux ont-ils encore un sens dans le cas du paradoxe de Banach-Tarski ou dans celui du chat de Schrödinger (illustrant le principe de la superposition des états quantiques) ? Ta question me semble plus que jamais ouverte.

[Médiat]

Bonjour

Puis, en 1931, Gödel démontre qu'il est impossible de fonder une théorie mathématique 100% cohérente sur un système axiomatique complet, invalidant ainsi le principe aristotélicien du tiers exclu puisqu'on sait désormais que dans toute théorie il existe nécessairement au moins une proposition indécidable (pour laquelle il est impossible de démontrer qu'elle est vraie ou qu'elle est fausse).
[...]
Alors aujourd'hui sur quoi faut-il s'appuyer pour valider un raisonnement ? Existe-t-il un critère absolu qui permettrait de trancher ? Mais trancher sur quoi, puisque depuis Gödel on sait qu'il existe au moins une alternative au vrai et au faux ? Et d'ailleurs le vrai et le faux ont-ils encore un sens dans le cas du paradoxe de Banach-Tarski ou dans celui du chat de Schrödinger (illustrant le principe de la superposition des états quantiques) ? Ta question me semble plus que jamais ouverte.

N'importe quoi, comme d'habitude !

[andretou]

N'importe quoi, comme d'habitude !

Vous avez sans doute raison, mais je vous serais reconnaissant de bien vouloir expliquer quelle est mon erreur.

[Médiat]

Commencez par étudier la logique mathématique, et vous vous attaquerez à Gödel après

[andretou]

Commencez par étudier la logique mathématique, et vous vous attaquerez à Gödel après

D'accord. Et pour la courtoisie, on commence quand ?

[baiegeai]

Tu essayeras !

Tu verras vite que c'est très pénible !

Mais un peu de réflexion sur ta pratique scolaire aurait dû te permettre de savoir et de ne pas poser cette question.
C'est comme dans la vie, on fait ce qui sert à ce qu'on veut obtenir, pas toujours la même chose.

Je te conseille d'oublier cette réflexion (qui me semble être "qu'est-ce que je vais devoir faire" alors que tu ne sais même pas pourquoi tu le ferais) et de revenir un peu sur terre !! Raisonnable.

ta reponse me parait relativement choquante
as tu oublié les remises en question du savoir tout puissant dispensé par de doctes professeurs tout au long de notre scolarité ( en tout cas ce fut mon cas ) ?
Le questionnement de Yoshs me parait tout à fait sain et légitime et devrait etre promu
Bien sur ça ne lui servira pas à avoir de bonnes notes en classe , au moins jusqu'au doctorat , et encore ,**** Politique **** je ferais bien le parallele avec la vie en entreprise ou il est interdit , pour les ingenieurs , d'inventer quoique ce soit qui ne serait pas dans le perimetre de ce que certains ont jugé etre le coeur de metier ( compliqué comme formulation , je sais )

on oublie tres souvent que notre raisonnement et la validation de notre raisonnement est une notion intuitive que nous portons tous en nous depuis tres certainement le debut de l'humanité
chaque homme ou femme s'il se met à reflechir arrivera à nos conclusions
je trouve cela assez extraordinaire , d'autant plus que c'est contenu dans une molecule en spirale de quelques microns le long .
Donc l'intuition n'est que logique et la logique n'est qu'intuition
autrement dit nous ne maitrisons pas grand chose dans notre raisonnement , nous essayons seulement de l'oraliser et d'expliquer à nous meme quelque chose qui nous dépasse
en langage techno je dirais que nous faisons simplement un reverse engineering de notre pensée pour essayer de copier et d'analyser

nous rentrons ( mais nous y etions deja ) dans la philosophie et donc dans la religion
recurrences , demonstrations par l'absurde, vrai ou faux , implications , bijections sont quotidiennement pratiqués par tous les individus de la terre , seuls certains y mettent un nom comme Mr Jourdain

donc Yoshs tu possedes en toi l'intuition et l'esprit critique pour aller loin

tu as donc deja parfaitement compris que la validité d'un raisonnement ne depend que du resultat qu'on en attend

n'hesite surtout pas à poser des questions

[baiegeai]

Bonjour Yoshs
Permets-moi de te féliciter pour la pertinence de ta question.
La capacité de raisonner est au coeur de la pensée humaine, pour le sage c'est ce qui le différencie du fou, c'est le fondement même de notre civilisation.
Les Grecs d'Ionie (Thalès, Anaximandre, Pythagore...) sont les premiers, il y a 27 siècles, à avoir tenté d'apporter des réponses raisonnées à leurs questionnements, et tout particulièrement au plus essentiel de tous : "D'où venons-nous ?". Ainsi est née la philosophie, dont la vocation originelle était de comprendre le pourquoi et le comment des choses par-delà les mythes sacrés et les religions.
Rapidement, l'emploi du raisonnement montra certaines limites. Des penseurs tels Zénon d'Elée exhibèrent de redoutables paradoxes (par exemple celui de la flèche ou celui d'Achille et de la tortue), tandis que Protagoras et les sophistes s'exerçaient à démontrer une chose et son contraire.
En réaction, Platon puis Aristote vont mettre de l'ordre dans tout ça et définir en particulier deux principes fondamentaux permettant de valider un raisonnement :
1/ le principe de causalité : tout effet est précédé d'une cause ;
2/ le principe du tiers exclu : toute proposition ne peut être que soit vraie, soit fausse.

Pendant plus de 2 millénaires, le savoir occidental va ainsi se développer sur ces bases sans que nul ne songe à les remettre en question tant elles paraissent évidentes, en mathématiques comme en physique, en philosophie comme en théologie.
A partir du XIXème siècle cependant, les choses commencent à se gâter.
D'abord, certains ont en effet l'audace de remettre en cause le 5ème postulat d'Euclide, contestant le caractère absolu et la portée universelle du théorème de Pythagore (Bolyaï, Lobatchevski, Riemann).
Puis, en 1931, Gödel démontre qu'il est impossible de fonder une théorie mathématique 100% cohérente sur un système axiomatique complet, invalidant ainsi le principe aristotélicien du tiers exclu puisqu'on sait désormais que dans toute théorie il existe nécessairement au moins une proposition indécidable (pour laquelle il est impossible de démontrer qu'elle est vraie ou qu'elle est fausse).
Puis, en 1982, le physicien Alain Aspect démontre qu'il n'existe pas de paramètres cachés régissant le comportement aléatoire des objets quantiques (tels que les noyaux radioactifs), invalidant ainsi le vieux principe selon lequel tout effet est précédé d'une cause.

Alors aujourd'hui sur quoi faut-il s'appuyer pour valider un raisonnement ? Existe-t-il un critère absolu qui permettrait de trancher ? Mais trancher sur quoi, puisque depuis Gödel on sait qu'il existe au moins une alternative au vrai et au faux ? Et d'ailleurs le vrai et le faux ont-ils encore un sens dans le cas du paradoxe de Banach-Tarski ou dans celui du chat de Schrödinger (illustrant le principe de la superposition des états quantiques) ? Ta question me semble plus que jamais ouverte.

j'ai bien aimé votre positivisme
la seule chose qui me gene c'est encore et toujours la reference aux philosophes grecs comme si l'homme n'avait commencé à penser qu'avec aristode, platon et les autres
ils ont juste beneficié de l'invention par d'autres anonymes , non moins intelligents , de l'ecriture et donc de la transmission d'un savoir de maniere plus securisée .

Vivement qu'on puisse remonter le temps ( une certaine logique nous dit que c'est impossible , une autre si ) pour rendre à César ce qui est à Jules ( proverbe berbere )

[Médiat]

D'accord. Et pour la courtoisie, on commence quand ?

Vous avez épuisé mes stocks, en plus de 50 messages du même genre, par exemple :

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5681763

[andretou]

Vous avez épuisé mes stocks, en plus de 50 messages du même genre, par exemple :

http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5681763

Evidemment, si vous vous contentez d'avancer un argument d'autorité de ce type chaque fois que l'on veut aller vraiment au fond d'une question, on ne peut que tourner en rond...
Mais je ne vois cependant pas en quoi cela vous autoriserait à être discourtois.