Vrai ET faux à la fois, est-ce possible en mathématiques ?

[Médiat]

Cantor n'a-t-il pas établi une bijection entre (entre autres) l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres pairs ?

Cette bijection existe, je ne suis pas certain que son existence date de Cantor, mais c'est anecdotique.

De ce fait, n'y a-t-il pas exactement autant d'éléments dans l'ensemble des entiers naturels que dans l'ensemble des nombres pairs ?

No comment, répéter la même chose une douzième fois ne vous servirait, sans doute à rien.
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[gg0]

Andretou,

Ce qui choque tout le monde, c'est ton "contrairement". Et Deedee81 est arrivé un peu après la bataille.
Il faut bien comprendre que raisonner en "autant d'éléments" ou "plus d'éléments" (*) ne marche plus pour les ensembles infinis. Comme l'intuition de "autant d'éléments" ou "plus d'éléments" ne fonctionne pas correctement (une partie d'un ensemble infini peut avoir "autant d'éléments" ou "plus d'éléments" que l'ensemble), on évite ces expressions dangereuses pour parler en termes de bijection et de cardinaux.

Cordialement.

(*) dans les ensembles finis, A a plus d'éléments que B s'il existe une bijection d'une partie stricte de A vers B. Là encore, ça change pour les ensembles infinis, car l'ensemble des pairs a, dans ce sens "plus d'éléments" que l'ensemble des entiers, qui est en bijection avec une partie stricte des pairs : les multiples de 4. On préfère dire, dans ces cas que card A>=card B

[andretou]

Alors là, je ne comprends plus rien...
Cantor n'a-t-il pas établi une bijection entre (entre autres) l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres pairs ?
De ce fait, n'y a-t-il pas exactement autant d'éléments dans l'ensemble des entiers naturels que dans l'ensemble des nombres pairs ?

Cette bijection existe, je ne suis pas certain que son existence date de Cantor, mais c'est anecdotique.
No comment, répéter la même chose une douzième fois ne vous servirait, sans doute à rien.

Si je reformule ainsi :
Cantor n'a-t-il pas établi une bijection entre (entre autres) l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres pairs ?
De ce fait, la cardinalité de l'ensemble des entiers naturels n'est-elle pas exactement égale à la cardinalité de l'ensemble des nombres pairs ?

Cette reformulation vous convient-elle ?

[Médiat]

Cantor n'a-t-il pas établi une bijection entre (entre autres) l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des nombres pairs ?
De ce fait, la cardinalité de l'ensemble des entiers naturels n'est-elle pas exactement égale à la cardinalité de l'ensemble des nombres pairs ?

C'est correct sous cette forme, et vous verrez que tous les "faux paradoxes" que vous avez pu citer (et d'autres) disparaissent avec cette façon de décrire les choses (avec l'arithmétique des cardinaux).

[andretou]

Ce qui me gène, ce sont les faits : il n'y a pas deux fois plus d'entiers naturels que de nombres pairs mais exactement autant, contrairement à ce que stipule la loi de composition des cardinaux.

Si je reformule aussi ce passage :
Ce qui me gène, ce sont les faits : le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est exactement égal au cardinal de l'ensemble des nombres pairs, contrairement à ce que stipule la loi de composition des cardinaux sur les ensembles finis disjoints (Card(A U B) = Card(A) + Card(B)).

Est-ce que nous sommes d'accord ?

[Médiat]

Si je reformule aussi ce passage :
Ce qui me gène, ce sont les faits : le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est exactement égal au cardinal de l'ensemble des nombres pairs, contrairement à ce que stipule la loi de composition des cardinaux sur les ensembles finis disjoints (Card(A U B) = Card(A) + Card(B)).

Est-ce que nous sommes d'accord ?

Absolument pas, comme je vous déjà dit 3 fois (cela fait 4) :
le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est exactement égal au cardinal de l'ensemble des nombres pairs, ce qui est parfaitement conforme à ce que stipule la loi de composition des cardinaux sur les ensembles finis ou infinis disjoints (Card(A U B) = Card(A) + Card(B)).

[Schrodies-cat]

Ce qui me gène, ce sont les faits : il n'y a pas deux fois plus d'entiers naturels que de nombres pairs mais exactement autant, contrairement à ce que stipule la loi de composition des cardinaux.

On peut avoir un paradoxe quand un fait est incompatible avec une croyance.
Les faits de la théorie des ensemble ne correspondent pas à votre intuition, eh bien les faits (de la théorie des ensembles) ont raison (dans le cadre de la théorie des ensemble).
Vous avez une théorie qui fait disparaitre ce paradoxe ? Je n'en connais pas et je rappelle à toutes fins utiles qu'ici, il ne faut pas s'appuyer sur des théories perso mais sur des théories reconnues.
L'intuition en mathématiques n'est pas donnée, elle s'acquiert en travaillant les mathématiques e il vous faudra travailler pour acquérir une intuition pertinente sur ces questions.

[gg0]

Rappel historique : le fait qu'on peut associer (bijectivement) les pairs aux entiers quelconques a été une des raisons pour les philosophes-mathématiciens grecs d'il y a 2300 ans pour refuser la notion d'ensemble infini (infini actuel), et en rester aux collections sans fin (infini potentiel). Quand on voit les complications des éléments d'Euclide pour traiter des notions somme les longueurs de segments, on comprend que ce fut une impasse.
Cantor a bien entendu repris cette bijection connue depuis longtemps (on la retrouve dans des textes du moyen âge et de la renaissance), mais ses grandes découvertes sont autres.

Cordialement.

[andretou]

Rappel historique : le fait qu'on peut associer (bijectivement) les pairs aux entiers quelconques a été une des raisons pour les philosophes-mathématiciens grecs d'il y a 2300 ans pour refuser la notion d'ensemble infini (infini actuel), et en rester aux collections sans fin (infini potentiel). Quand on voit les complications des éléments d'Euclide pour traiter des notions somme les longueurs de segments, on comprend que ce fut une impasse.
Cantor a bien entendu repris cette bijection connue depuis longtemps (on la retrouve dans des textes du moyen âge et de la renaissance), mais ses grandes découvertes sont autres.

Cordialement.

Merci pour ces informations.
Bien à toi

[andretou]

Absolument pas, comme je vous déjà dit 3 fois (cela fait 4) :
le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est exactement égal au cardinal de l'ensemble des nombres pairs, ce qui est parfaitement conforme à ce que stipule la loi de composition des cardinaux sur les ensembles finis ou infinis disjoints (Card(A U B) = Card(A) + Card(B)).

Mais, en prolongeant le raisonnement (A et B étant deux ensembles disjoints) :
- si Card(A U B) = Card(A) + Card(B),
- alors Card(A U B) - Card(A) - Card(B) = 0
Or cela est faux lorsque Card(A) = Card(B) = infini
Donc, a priori, et sauf erreur ci-dessus que j'ai hâte que l'on me fasse connaître, il s'avère que la loi de composition des Cardinaux ne peut pas s'appliquer de la même manière sur les ensembles finis et sur les ensembles infinis.

[Médiat]

Card(A U B) = Card(A) + Card(B)

Oui

- alors Card(A U B) - Card(A) - Card(B) = 0

Non, car ce sont des cardinaux et non des nombres entiers, il faut donc leur appliquer l'arithmétique des cardinaux, et nulle autre !

Card(A) = Card(B) = infini

Non, "infini" n'est pas un cardinal !

[ansset]

@andretou:
pourquoi pas ne pas faire un petit tour sur la toile ou il y a de multiples infos sur les cardinaux et les logiques arithmétiques qui leur sont attachées. ?

j'avais moi, une petite question:
on peut lire que :

parfois assorti de "non décidable"....
est ce donc une conjecture admise, ou le fruit d'un raisonnement sur le nb de parties possibles des entiers par exemple ( lu aussi ) ?
Cdt

[andretou]

Non, car ce sont des cardinaux et non des nombres entiers, il faut donc leur appliquer l'arithmétique des cardinaux, et nulle autre !

Est-ce à dire que l'arithmétique des cardinaux interdit la soustraction, y compris dans le cas d'ensembles finis ?
N'est-il pas possible de considérer que Card(A U B) - Card(A) = Card(B) dans le cas d'ensembles finis ?

[Médiat]

Oui

parfois assorti de "non décidable"....

Ce qui est indécidable c'est que , autrement dit l'hypothèse du continu

[andretou]

@andretou:
pourquoi pas ne pas faire un petit tour sur la toile ou il y a de multiples infos sur les cardinaux et les logiques arithmétiques qui leur sont attachées. ?

j'avais moi, une petite question:
on peut lire que :

parfois assorti de "non décidable"....
est ce donc une conjecture admise, ou le fruit d'un raisonnement sur le nb de parties possibles des entiers par exemple ( lu aussi ) ?
Cdt

Si tu vas sur la toile tu découvriras qu'il s'agit de l'hypothèse du continu.

[Médiat]

Est-ce à dire que l'arithmétique des cardinaux interdit la soustraction, y compris dans le cas d'ensembles finis ?
N'est-il pas possible de considérer que Card(A U B) - Card(A) = Card(B) dans le cas d'ensembles finis ?

Est-ce que l'arithmétique des entiers naturels interdit la soustraction ? N'est-il pas possible de considérer que 7 - 4 = 3 ?

[minushabens]

mais est-ce qu'on peut au moins démontrer qu'il existe un Aleph-1, c'est-à-dire un plus petit cardinal plus grand que Aleph-0 (si c'est bien la définition de aleph-1)?

[andretou]

Est-ce que l'arithmétique des entiers naturels interdit la soustraction ? N'est-il pas possible de considérer que 7 - 4 = 3 ?

Ben alors justement, cela démontre bien que la loi de composition des cardinaux, s'agissant de la soustraction, est applicable aux ensembles finis mais pas aux ensembles infinis !

[Médiat]

Bonjour minushabens,

Les cardinaux sont des ordinaux particuliers qui sont des bons ordres, donc oui, existe.

[Médiat]

Ben alors justement, cela démontre bien que la loi de composition des cardinaux, s'agissant de la soustraction, est applicable aux ensembles finis mais pas aux ensembles infinis !

A quoi est égal le cardinal 3 moins le cardinal 7 ?

[andretou]

A quoi est égal le cardinal 3 moins le cardinal 7 ?

Dans ce cas je suis évidemment d'accord, si Card(A) > Card(B), alors Card(B) - Card(A) n'a pas de sens.
Mais dans tous les autres cas, la soustraction entre cardinaux est applicable aux ensembles finis, non ?

[gg0]

Andretou :

Donc, a priori, et sauf erreur ci-dessus que j'ai hâte que l'on me fasse connaître, il s'avère que la loi de composition des Cardinaux ne peut pas s'appliquer de la même manière sur les ensembles finis et sur les ensembles infinis.

Depuis le temps que tu parles de cette " loi de composition des Cardinaux" qui n'existe pas, et qui est (si je comprends bien) que pour deux ensembles finis d'intersection vide, leur réunion a pour nombre d'éléments la somme des nombres d'éléments des deux ensembles
Et justement, cette règle élémentaire concerne les ensembles qui ont un nombre d'éléments, les ensembles finis. Et ne peut pas s'appliquer pour des ensembles infinis, qui n'ont pas de nombre d'éléments.

[Médiat]

Où voulez-vous en venir, on vous a répété de très, trop, nombreuses fois (et je commence à fatiguer sérieusement) :

1) Card(A U B) = Card(A) + Card(B)
2) L'arithmétique des cardinaux n'est pas celle des entiers (et celle des ordinaux est encore différente)

Evidemment que les cardinaux finis sont des entiers, que les opérations sur les cardinaux prolongent les opérations sur les entiers, et donc, sur ce segment, les opérations sur les entiers fonctionnent ... et alors ?

[minushabens]

Bonjour minushabens,

Les cardinaux sont des ordinaux particuliers qui sont des bons ordres, donc oui, existe.

ah ok, merci.

[ansset]

Ce qui est indécidable c'est que , autrement dit l'hypothèse du continu

merci, c'est plus clair.
( enfin presque ).
en quoi serait ce un soucis de poser cette hypothèse comme "axiomatique" ?

[Médiat]

en quoi serait ce un soucis de poser cette hypothèse comme "axiomatique" ?

Ce n'est pas un souci, au contraire, Gödel et Cohen ont démontré que HC était indécidable dans ZFC, donc on peut ajouter HC ou non HC, au choix, à ZFC et obtenir une théorie iso-consistante avec ZFC.

[minushabens]

Et est-ce qu'il y a des résultats importants, ou des méthodes de démonstration, qui dépendent de cet axiome? en d'autres termes, est-ce qu'il a le même statut que l'axiome du choix?

[Médiat]

Oui, il y a des théorèmes qui sont démontré exclusivement dans ZFC + HC (avoir un axiome de plus, c'est une arme de plus) ; comme AC on l'ajoute quand une démonstration n'aboutit pas sans lui (quitte à retirer cet hypothèse quelques années plus tard, si on trouve une autre démonstration qui ne l'utilise pas )

[karlp]

Bonjour à tous, bonjour très cher Médiat

Pourriez vous m'éclairer sur le point suivant ?

Bonjour minushabens,

Les cardinaux sont des ordinaux particuliers qui sont des bons ordres, donc oui, existe.

J'ai retenu des mes cours que les ordinaux étaient déterminés par une relation de bon ordre (dont je dois relire la définition); mais ma mémoire n'est pas toujours très fiable.
Est-ce que vous pourriez préciser un peu en quoi les cardinaux sont des "ordinaux particuliers" (je crois seulement me souvenir que la relation de bon ordre ne jouait pas de rôle dans la cardinalité d'un ensemble) ?

Merci !
(et toutes mes excuses si j'écris des sottises par trop énormes )

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Vous avez raison, le bon ordre n'est pas significatif pour un cardinal.

Il y a plusieurs façons de considérer un cardinal : comme une classe d'équipotence par exemple, mais le plus simple c'est de considérer que le cardinal associé à une classe d'équipotence est le plus petit ordinal (qui existe) de cette classe d'équipotence, ainsi un cardinal est bien un ordinal (mais particulier, et certaines opérations ne fonctionnent plus) et donc on peut utiliser les propriétés des familles d'ordinaux (comme ma réponse à minushabens).

C'est comme pour toutes les relations d'équivalence pour lesquelles les classes ont un représentant particulier facile à définir.




PS : Je me permets de vous orienter vers les fils : http://forums.futura-sciences.com/le...ml#post5590567 et http://forums.futura-sciences.com/sc...-lunivers.html qui devraient vous intéresser, je crois