Vrai ET faux à la fois, est-ce possible en mathématiques ?

[andretou]

Bonjour tout le monde.
Il y a 2300 ans, Aristote avait affirmé que toute proposition logique ne peut être que vraie ou fausse.
Puis en 1932 Gödel a démontré qu'il existe nécessairement certaines propositions ni vraies ni fausses.
Mais peut-il exister des propositions qui seraient vraies et fausses à la fois ?
La fameuse fonction Zéta (-1) d'Euler-Riemann qui attribue à la somme 1+2+3+4+5+6+... la valeur -1/12 peut-elle être de cette nature ?
Peut-il exister des énoncés mathématiques qui seraient à la fois vrai et faux ?
Merci pour vos réponses.
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[Médiat]

Bonjour,

Oui, il existe des logiques contradictoires (cf. Lupasco), pas vraiment utilisées en mathématiques, à ma connaissance, ce qu'il y a de bien avec les mathématiques, c'est que l'on peut inventer sa ou ses logiques comme on veut, après il faut convaincre l'ensemble de la communauté de son intérêt.

Dans les logiques classiques, non une proposition ne peut être vraie et fausse en même temps dans une théorie donnée.

Cela n'a rien à voir avec cette arnaque publicitaire (il y a de nombreuses discussions sur ce sujet sur FSG) qu'est l'affirmation 1+2+3+4+5+6+... = -1/12

[andretou]

Dans les logiques classiques, non une proposition ne peut être vraie et fausse en même temps dans une théorie donnée.

Cela n'a rien à voir avec cette arnaque publicitaire (il y a de nombreuses discussions sur ce sujet sur FSG) qu'est l'affirmation 1+2+3+4+5+6+... = -1/12

Merci pour ta réponse.
D'un mot, pourrais-tu STP préciser pourquoi la fonction Zéta est une arnaque ?

[Médiat]

Parce que ce n'est pas l'addition des entiers, puisque l'addition d'une infinité d'entiers n'existe pas (que l'on se plonge dans IN ou dans IR)

http://forums.futura-sciences.com/sc...mpossible.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

C'est bête. J'avais lu le message et je n'avais pas vu la flush. Distrait.

La fonction Zeta, c'est ceci :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...rie_de_Riemann

C'est donc plutôt les inverses des entiers (enfin, à un exposant complexe et un prolongement analytique près )

[invite82078308]

Bonjour tout le monde.
Il y a 2300 ans, Aristote avait affirmé que toute proposition logique ne peut être que vraie ou fausse.
Puis en 1932 Gödel a démontré qu'il existe nécessairement certaines propositions ni vraies ni fausses.
Mais peut-il exister des propositions qui seraient vraies et fausses à la fois ?
La fameuse fonction Zéta (-1) d'Euler-Riemann qui attribue à la somme 1+2+3+4+5+6+... la valeur -1/12 peut-elle être de cette nature ?
Peut-il exister des énoncés mathématiques qui seraient à la fois vrai et faux ?
Merci pour vos réponses.

Votre façon d'interpréter le résultat de Kurt Gödel est une simplification abusive, mais sans doute ne vaut-il mieux pas rouvrir la boite de Pandore.

Qu'un énoncé soit Vrai ou faux en mathématique dépend, sans entrer dans les détails, du cadre dans lequel on se place. Il n'est pas vrai ou faux dans l'absolu.
1+2+3+4+ ... peut avoir un certains sens dans un certain cadre et valoir -1/12 et ans un autre cadre valoir +∞, sans préciser ici ce que cela signifie.
En fait, si on fait de vraies mathématiques, on utilisera des notations plus rigoureuse qui permettent d'éviter les ambiguïté.

Quand on commence en mathématique, on utilise des notations simples dont l'usage ne cause pas d'ambiguïté.
A un certain niveau (pour traiter de la question des séries divergents par exemple), il faut préciser le cadre dans lequel on se place.

[gg0]

Bonjour.

Un exemple plus simple que celui de Zéta :
En base 10, 1+1=2; en base 2, 1+1=10.
1+1=10 n'est dans l'absolu ni vrai ni faux. Une fois défini le cadre (ici la base des l'écriture des nombres), on sait.

Cordialement.

[andretou]

Qu'un énoncé soit Vrai ou faux en mathématique dépend, sans entrer dans les détails, du cadre dans lequel on se place.

Je suis absolument d'accord (tout comme avec gg0). Par exemple, le théorème de Pythagore n'est vrai qu'en géométrie euclidienne.
Il n'en demeure pas moins que, dans un cadre donné, toute proposition est soit vraie, soit fausse, soit ni vraie ni fausse (à l'exemple peut-être de la conjecture de Goldbach).

Cependant, est-ce qu'éventuellement une proposition telle que "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" pourrait être à la fois vraie et fausse indépendamment du cadre dans lequel on se place ?
La théorie des ensembles a en effet rigoureusement établi que cette proposition est vraie.
Mais :
1/ si l'on considère que l'ensemble N des entiers naturels est constitué du sous-ensemble P des nombres pairs et du sous-ensemble I des nombres impairs,
2/ alors si l'ensemble N a autant d'éléments que l'ensemble P, cela implique que l'ensemble I est vide,
3/ or l'ensemble I des nombres impairs n'est pas vide,
4/ donc la proposition "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" est fausse...

De ce fait, la proposition "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" serait à la fois vraie et fausse.
Ce raisonnement est-il à votre avis correct, ou contient-il une erreur ?

[Dynamix]

Salut

1+1=10 n'est dans l'absolu ni vrai ni faux. Une fois défini le cadre (ici la base des l'écriture des nombres), on sait.

"Ni vrai ni faux" , ce n' est pas "vrai et faux" .
C' est indéterminé .

[Médiat]

Bonjour,

1/ si l'on considère que l'ensemble N des entiers naturels est constitué du sous-ensemble P des nombres pairs et du sous-ensemble I des nombres impairs,
2/ alors si l'ensemble N a autant d'éléments que l'ensemble P, cela implique que l'ensemble I est vide,
3/ or l'ensemble I des nombres impairs n'est pas vide,
4/ donc la proposition "il y a exactement autant de nombres pairs que d'entiers naturels" est fausse...

Absolument pas ! Toute votre "démonstration" repose sur la notion de "Nombre d'éléments d'un ensemble", notion qui n'existe pas en mathématique et en particulier dans la théorie des ensembles.

[Deedee81]

Salut,

Et cette notion erronée conduit à énoncer le point 2 "alors si l'ensemble N a autant d'éléments que l'ensemble P, cela implique que l'ensemble I est vide" qui est incorrect.

Un ensemble infini (en espérant ne pas dire de bêtise) est un ensemble qui peut être mis en bijection avec certains de ses parties propres. Cela suffit à montrer que le point 2 ne peut pas être correct. (et on peut compléter en signalant que les nombres pairs sont justement une telle partie)

[Médiat]

J'en profite pour donner à nouveau le lien : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/390947-prolegomenes-a-toute-tentative-future-de-definition-nombre-d-elements-d-un-ensemble.html

[andretou]

Toute votre "démonstration" repose sur la notion de "Nombre d'éléments d'un ensemble", notion qui n'existe pas en mathématique et en particulier dans la théorie des ensembles.

Cantor n'a-t-il pourtant pas démontré, entre autres, que l'ensemble des entiers naturels contient exactement autant d'éléments que l'ensemble des nombres pairs ?...

[Médiat]

Cantor n'a-t-il pourtant pas démontré, entre autres, que l'ensemble des entiers naturels contient exactement autant d'éléments que l'ensemble des nombres pairs ?...

Non Cantor a démontré que le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est égal au cardinal de l'ensemble des nombres pairs.

[gg0]

Non.

Il a montré que l'ensemble des entiers et l'ensemble des entiers pairs sont en bijection. On peut, pour des raisons de vulgarisation, parler de "même nombre d'éléments", mais on ne parle plus de nombres (au sens des entiers, des réels, des complexes), et c'est de la vulgarisation.
De plus, ce fait était connu de longue date (il me semble depuis les années -200 de notre ère, en Grèce, et sans doute bien avant).
La vraie découverte de Cantor, c'est que les réels ne sont pas en bijection avec les entiers (alors que le rationnels le sont, les nombres algébriques aussi, les n-uplets d'entiers aussi).

Cordialement

[andretou]

Salut,

Et cette notion erronée conduit à énoncer le point 2 "alors si l'ensemble N a autant d'éléments que l'ensemble P, cela implique que l'ensemble I est vide" qui est incorrect.

Un ensemble infini (en espérant ne pas dire de bêtise) est un ensemble qui peut être mis en bijection avec certains de ses parties propres. Cela suffit à montrer que le point 2 ne peut pas être correct. (et on peut compléter en signalant que les nombres pairs sont justement une telle partie)

Ok !
Mais si je dis maintenant :
1/ Soit P un ensemble contenant n éléments, et soit I un autre ensemble contenant également n éléments ;
2/ Soit N l'union des ensembles P et I ;
3/ P et I étant 2 ensembles disjoints, le nombre d'éléments de N est donc n + n = 2n

Si ce raisonnement est manifestement vrai pour des ensembles finis, qu'est-ce qui empêcherait de l'appliquer à des ensembles infinis ?

[Médiat]

Mais on peut, dans le cas de P + I cela donne :

Mais " vrai pour des ensembles finis, qu'est-ce qui empêcherait de l'appliquer à des ensembles infinis ? " et une merveilleuse source infinie d'erreurs !

[Dynamix]

des ensembles infinis

C' est quoi un "ensemble infini" ?
Tu peux donner une définition à ce truc machin que tu nommes "ensemble infini" ?

Et , si tu ne veux pas prendre des coups sur la téteu , ne me dit pas que c' est un ensemble qui a un nombre infini d' élément

[andretou]

C' est quoi un "ensemble infini" ?
Tu peux donner une définition à ce truc machin que tu nommes "ensemble infini" ?

Et , si tu ne veux pas prendre des coups sur la téteu , ne me dit pas que c' est un ensemble qui a un nombre infini d' élément

Merci pour cette question fondamentale !
Pour ma part, je ne vois pas de différence entre un ensemble fini et un ensemble infini hormis le nombre d'éléments (idem entre un ensemble infini dénombrable et un ensemble infini non-dénombrable) !
C'est pourquoi, logiquement, ce qui est vrai pour un ensemble infini devrait aussi être vrai pour un ensemble fini, et inversement, puisqu'on a affaire dans les deux cas au même type d'objet mathématique que l'on appelle un "ensemble".
Donc, si Card(N) = Card(P) + Card(I) dans le cas d'ensembles finis, alors cette règle de composition des cardinaux doit aussi être vraie pour des ensembles infinis. Pourquoi n'en serait-il pas ainsi ?

J'ai donc envie de conclure que la proposition "l'ensemble des entiers naturels compte exactement autant d'éléments que l'ensemble des nombres pairs" est vraie (ainsi que Cantor l'a habilement démontré en établissant une bijection entre un ensemble et un de ses sous-ensembles) ET fausse (puisque la loi de composition des cardinaux n'a, a priori, pas de raison de ne pas s'appliquer dans le cas d'ensembles infinis).

[Médiat]

Bonjour,

Pour ma part, je ne vois pas de différence entre un ensemble fini et un ensemble infini hormis le nombre d'éléments

Ce n'est pas en répétant des erreurs qui vous ont déjà été signalées qu'elles deviendront vraies, ce que vous ne voyez pas est pourtant fondamental dans la théorie des ensembles.

[gg0]

Pour ma part, je ne vois pas ...
C'est pourquoi, logiquement,

Quelle est la logique de considérer que ce qu'on ne voit pas n'existe pas ?
Tu explicites toi-même une différence "que tu ne vois pas" !! Ce n'est pas sérieux ! Pire, tu parles d'ensembles infinis (contraire de fini, étymologiquement) et tu dis qu'il n'y a pas de différence ! C'est idiot.

Bon ! Et si tu commençais à penser au lieu d'écrire ? En arrêtant d'écrire ce qui t'arrange à un moment et le contraire tout de suite après ?

Si tu persistes dans cette attitude, tu ne discutes pas, tu parles seul.

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement avec gg0

Andretou,

Il y a une règle simple et évidente en mathématique qui d'ailleurs ne s'applique pas qu'au cas fini v.s. infini.
si tu constates qu'une propriété/règle/loi s'applique dans un certain nombre de cas, tu ne peux pas l'extrapoler aux autres cas comme ça. Il faut démontrer que ça s'applique aussi.
En particulier la règle que tu as déduite sur les cardinaux finis tu dois la démontrer pour le cas infini. Pas juste dire qu'on l'applique aussi.

Tu dis aussi que "la loi de composition des cardinaux [finis] n'a, a priori, pas de raison de ne pas s'appliquer dans le cas d'ensembles infinis". Et bien si tu as du mal à voir pourquoi, essaie de le démontrer. C'est encore ce qu'il y a de mieux à faire. En mathématique on arrive souvent à comprendre en essayant par soi-même. Donc essaie de démontrer que ta règle de composition s'applique aux cardinaux infinis. Rigoureusement (très important, le manque de précision et de clarté est la mère de tous les vices et tous les clous de ton cercueils ). Si tu y arrives (il n'y a pas de raison), tu verras que la conclusion de ta démo est que cette composition ne s'applique pas au cas infini et l'avoir démontré par toi-même te donnera l'illumination et la compréhension.

[PlaneteF]

Bonjour,

C'est pourquoi, logiquement,

Pour rebondir sur ton "logiquement", la seule et unique logique dans tout cela c'est ce qui est enseigné dans les cours de théorie des ensembles que manifestement tu n'as pas étudié (sinon tu ne te poserais pas les questions que tu te poses) et que je t'invite à faire comme prérequis pour toute discussion sur le sujet (tu trouveras ce qu'il faut sur le Net).

Cordialement

[Deedee81]

que je t'invite à faire comme prérequis pour toute discussion sur le sujet (tu trouveras ce qu'il faut sur le Net).

Ca me semble une excellente idée. Plus haut je parlais de rigueur mais l'expérience (surtout sur internet) m'a montré que ne fut-ce que comprendre "qu'est-ce qu'un raisonnement rigoureux" ne semble pas du tout aller de soi. Et de lire les bases (ce qui est déjà indispensable en soi) permet de voir "comment raisonner".

Après quelques recherches, deux références m'ont semblé pas mal. Mais les mathématiciens de ce forum en ont certainement de meilleures :
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/...gebreChap1.pdf
ils parlent des fondements de la logique, des ensembles, des modes de raisonnement. J'ai jeté un oeil c'est plutôt pas mal.

J'ai vu ça
https://fr.wikiversity.org/wiki/Axio...s/Introduction
Avec les axiomes, les ensembles infinis, etc...
Mais c'est malheureusement très incomplet. Enfin, bon, le début est bien, c'est déjà ça

[Médiat]

Bonjour,

Tu dis aussi que "la loi de composition des cardinaux [finis] n'a, a priori, pas de raison de ne pas s'appliquer dans le cas d'ensembles infinis".

Si j'ai bien compris, la règle dont il s'agit est que le cardinal (je répète pour andretou : le "nombre d'éléments", cela n'existe pas en théorie des ensembles) de l'union disjointe de deux ensembles est la somme des deux cardinaux, cette règle s'applique très bien au cas non fini, voir mon message #17.

[Médiat]

Mais les mathématiciens de ce forum en ont certainement de meilleures

Je ne sais pas si elles sont meilleures (les références), mais j'aime beaucoup les textes de Patrick Dehornoy : http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/surveys.html (mais tout le site mérite le voyage), en particulier les articles "Logique et théorie des ensembles".

[Deedee81]

Si j'ai bien compris, la règle dont il s'agit est que le cardinal (je répète pour andretou : le "nombre d'éléments", cela n'existe pas en théorie des ensembles) de l'union disjointe de deux ensembles est la somme des deux cardinaux, cette règle s'applique très bien au cas non fini, voir mon message #17.

Oui, mais de manière différente de celle qu'Andretou semble déduire du cas fini. Par exemple si on a un cardinal C et un cardinal égal à 1, C+1 est différent de C dans le cas fini.... mais pas dans le cas infini. Et le mieux pour comprendre pourquoi est de le démontrer (ce qui nécessite quelques bases sur l'axiomatique des ensembles mais ce n'est trop la mer à boire il me semble).

[Médiat]

Oui, mais de manière différente de celle qu'Andretou semble déduire du cas fini. Par exemple si on a un cardinal C et un cardinal égal à 1, C+1 est différent de C dans le cas fini.... mais pas dans le cas infini. Et le mieux pour comprendre pourquoi est de le démontrer (ce qui nécessite quelques bases sur l'axiomatique des ensembles mais ce n'est trop la mer à boire il me semble).

La règle sur l'union disjointe est universelle, que l'on soit dans le cas fini ou non, mais l'arithmétique des cardinaux (dans le cas général) n'est pas la même que l'arithmétique des cardinaux réduite aux cas finis, c'est, encore une fois, cette mauvaise idée (mauvais vocabulaire) de "nombre d'éléments" qui est à la base de l'incompréhension de andretou.

L'intuition est aux mathématiques ce que la langue d'Esope est aux festins.

[invite82078308]

Les mathématiciens de la Grèce antique étaient bloqués dans leur approche de l'infini par l'axiome "le tout est plus grand que la partie", par exemple.
Traduisons en langage moderne:
Le cardinal d'une partie stricte d'un ensemble est strictement inférieur au cardinal de cet ensemble.
Cela est vrai pour les ensembles finis mais pas pour les ensembles infinis.
Vrai et faux ?!
En fait, si on se place dans le cadre d'une théorie qui ne considère que les cardinaux fini, c'est vrai ; si on se place dans le cadre d'une théorie qui considère aussi les cardinaux infinis, c'est faux.
La vérité d'un énoncé dépend donc de la théorie dans laquelle on se place.

[Médiat]

Bonjour,

Dans le lien que j'ai donné au message #12 on trouve :
2) Principe d’Aristote (PA) : Le tout est plus grand que la partie.
3) Principe d’Aristote Fort (PAF) : le tout est strictement plus grand que la partie stricte.

Et surtout une explication pourquoi le PAF est en conflit avec d'autres principes tentants.