raisonnement logique

[hmz25]

bonjour a vous, il ya quelque jour que je me fixe sur la logique mathématique et je voulais démontrer (A vrai si et seulement si B vrai, A vrai <==> B vrai) , et je suis arriver a deux analyse la 1 est : on veut prouver que a est vrai si seulement b est vrai et de même b est vrai si seulement a est vrai alor la solution : est de supposer que a est vrai et on démontre que b est vrai et aprés on suppose que b est vrai et on démontre que a est vrai .mais la deuxième (2) analyse je me suis dit que si on supposer
a est vrai et on déduit que b est vrai alor conclusion quand a est vrai alor b est vrai alor b est vrai si que a est vrai alor on na pas supposer que b est vrai et on déduit que a est vrai parce que déjà on a b est vrai alor a est vrai donc la question que je me pose en espérant votre aide est ce que la 2 étape est nécessaire celui de (supposer b est vrai est on déduit a est vrai). voila tous et merci pour votre aide et de éclairer les chose .bonne journée
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[Médiat]

Bonjour,

Votre erreur est là : "alors b est vrai que si a est vrai"

[Guillaume_63]

Bonjour hmz25,

Médiat vous a montré où est votre erreur, je vais essayer de vous l'expliquer avec des termes les moins formalistes possibles.

Dire que A implique B, noté "A => B" c'est dire que si A est vrai alors B est vrai, c'est donc un énoncé, soit vrai, soit faux.

Par exemple, l'énoncé "Si un nombre est divisible par 4 alors il est divisible par 2" est vrai.

Sa réciproque "Si un nombre est divisible par 2 il est divisible par 4" est fausse bien entendue.
Cela montre déjà qu'on peut bien sur un exemple avoir "A=>B" et "B et non(A)".

La raison imagée de ce résultat est qu'un effet peut avoir de plusieurs causes.

Prenons un exemple pour illustrer cela.

Si un éclair frappe le sol alors il fait un trou. Donc si je vois qu'un éclair frappe le sol, je peux en déduire qu'il va y avoir un trou dans le sol.
Néanmoins, lorsque je regarde le sol et que j'y constate un trou je ne peux pas savoir si ce trou est du à un éclair, à une personne qui l'a creusé, etc.

La seule chose que vous pouvez vous dire c'est que si une cause connue notée A entraîné toujours un effet connu B alors l'absence de l'effet B vous permet de déduire l'absence de la cause A.

Dans notre exemple, si le sol est bien lisse, nous pouvons en déduire qu'un éclair ne l'a pas frappé (ou du moins récemment).

Cette déduction est appelée contraposée de "A => B" et se note "Non(B) => Non(A)".

J'espère vous avoir aidé.

Cordialement,

Guillaume

Ps : mes exemples ne sont évidemment pas bons parce qu'on ne peut pas expliquer la logique en maths avec des exemples concrets pour une simple et bonne raison : il n'y a pas de notion de temporalité en maths, tout est immédiat alors que ce n'est pas commence ça dans la vie sans compter qu'en plus dans la "vraie" vie, les choses ne sont souvent pas aussi tranchées. Néanmoins, je me souviens que lorsque j'ai vu pour la première fois ces notions c'est ce qui m'avait permis de les comprendre.