Bonjour à tous,
J'ai un peu de mal à saisir la notion de sous espace vectoriel...
Si j'ai un espace vectoriel que j'appel D et qui comprend les éléments : ((1,0,0);(1,0,1)) est-ce que un sous espace vectoriel C contient obligatoirement ces deux éléments ou juste une combinaison linéaire de ces 2 éléments que j'aurais moi même choisi ??
Par exemple je pourrais avoir C= (( 10,0,4)) qui est une combinaison de D...
Si quelqu'un pouvait m'éclaircir un peu sur le sujet...
Bonjour.
Un sous-espace vectoriel F de (E,+,.) est une partie de E. Donc en dehors du cas sans intérêt (mais utile) F=E, F ne contient pas tous les éléments de E. Il peut même n'en contenir qu'un : {0E} est un sous-espace vectoriel de (E,+,.).
Si x est un élément non nul de E (je suppose que (E,+,.) est un espace vectoriel réel), G={k.x/k élément de R} est un sous-espace vectoriel de E (on dit que G est une droite vectoriel, et x est un de ses vecteurs directeurs).
Cordialement.
Bonjour,
En réalité c'est un peu plus compliqué que cela.
On considère un espace vectoriel E muni de deux lois '+' et '.' sur un corps K.
On appelle sous-espace vectoriel de E tout sous-ensemble F de E qui, muni des restrictions des lois '+' et '.' à F, est stable par ces restrictions de "+" et "." à F et contient {0E}.
Être stable par '+' et par '.' signifie que pour tout éléments de F (appelés vecteurs de F) u et v, et pour tout a appartenant à K alors le vecteur (u + a.v) appartient à F.
Et maintenant un théorème très sympathique te dit que tout sous-espace vectoriel F de E, muni des restrictions précédemment définies est un espace vectoriel sur K.
Mais attention, ce n'est pas parce que F est un sous-ensemble de E qu'il est forcément un sous-espace vectoriel de E.
Par exemple (R,+,.) est un espace vectoriel sur R {1} est bien un sous-ensemble de R mais pas du tout un sous-espace vectoriel de (R,+,.).
J'espère t'avoir aidé.
Cordialement,
Guillaume
