Inégalité avec deux variables

[Meiosis]

Bonsoir,

Je travaille sur l'ensemble des entiers naturels et j'ai l'expression suivante avec deux variables x et y :

100xy+110x+70y+7

Je cherche à avoir la forme générale de tous les couples d'entiers (x;y) de telle façon que l'expression précédente ne soit jamais égale à l'une des deux suivantes :

1) 100zw+110z+70w+77

2) 100zw+90z+30w+27

z et w car l'inégalité doit être vérifiée pour n'importe quel entier quand on choisit x et y dans la première expression et pas seulement vérifiée pour x et y.

Je vous remercie par avance.
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[andretou]

Bonsoir,

Je travaille sur l'ensemble des entiers naturels et j'ai l'expression suivante avec deux variables x et y :

100xy+110x+70y+7

Je cherche à avoir la forme générale de tous les couples d'entiers (x;y) de telle façon que l'expression précédente ne soit jamais égale à l'une des deux suivantes :

1) 100zw+110z+70w+77

2) 100zw+90z+30w+27

z et w car l'inégalité doit être vérifiée pour n'importe quel entier quand on choisit x et y dans la première expression et pas seulement vérifiée pour x et y.

Je vous remercie par avance.

Bonjour Meiosis
Ton problème est difficile à appréhender (pour moi en tous cas !).
Pour info s'agit-il d'un problème concret particulier ?
Si on essaie de simplifier la question au maximum, peut-on par exemple la formuler ainsi ?
Quels sont les couples (x,y) et (z,w) tels que xy + 1 = zw ?
En déterminant les valeurs solutions de cette équation, on obtiendra par défaut les valeurs qui ne sont pas solutions (ce que tu recherches, si j'ai bien compris).
Il ne restera alors plus qu'à généraliser la solution pour l'appliquer à tes équations, et à faire ressortir les solutions entières (sauf peut-être à passer directement par Bézout ?)...
Je ne sais pas si cela permet d'avancer, je suis curieux de voir les solutions que certains pourront proposer. Peut-être qu'un algorithme serait plus efficace ?

[Meiosis]

Bonjour andretou,

Le problème s'annonce beaucoup plus compliqué que prévu et j'aurais dû poster dans la section "maths du supérieur". Il est facilement compréhensible mais doit être très difficile à résoudre.
Je vais simplifier le problème en proposant deux exemples : un qui marche, un autre qui ne marche pas.

Le couple (x;y) = (0;0) convient car 100xy + 110x + 70y + 7 = 7
7 ne peut pas être obtenu avec les deux expressions 100zw + 110z + 70w + 77 et 100zw + 90z + 30w + 27 quelque soit le couple d'entiers naturels (z;w) qu'on choisit (donc de 0 à +infini).

Le couple (x;y) = (0;1) ne convient pas car 100xy + 110x + 70y + 7 = 77 or on peut obtenir 77 également avec 100zw + 110z + 70w + 77 en prenant comme couple d'entiers naturels (z;w) = (0;0).

Apparemment (et c'est ce qui fait l'extrême difficulté de la question) si on trouve les couples (x;y) on aurait que des nombres premiers finissant par 7. Je ne pense donc pas qu'il existe une méthode simple de résolution.

PS : du coup j'ai pu voir que ta traduction du problème n'est pas la bonne, ce n'est pas équivalent à xy + 1 = zw

[eudea-panjclinne]

Effectivement cela ne semble pas simple :
Si j'ai bien compris et sauf erreur, vous considérez la proposition suivante:
Soit

N est premier si et seulement si N n'est pas de la forme


La condition nécessaire est évidente, si N est premier il ne peut s'écrire comme produit de deux nombres différents de 1.
La condition suffisante traduit le fait que quand N n'est pas premier (c'est à dire que c'est un produit) son chiffre des unités étant 7, ce 7 ne peut venir que de nombres dont les chiffres des unités sont (1;7) ou (3,9).

La condition de ne pas être de la forme

n'est simple qu'en apparence et sa résolution reviendra, je pense, à chercher si N est premier.

Ceci dit, l'exercice est intéressant...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Meiosis]

On peut également le traduire ainsi.

On pose , si on parvient à trouver un tel que alors le couple d'entiers naturels choisi n'est pas solution et donnera un nombre composé finissant par 7.

Un algorithme peut aider, malheureusement pour des nombres très grands cela devient vite compliqué de devoir calculer toutes les valeurs de a possibles et de tester la divisibilité à chaque fois.

Je ne pense pas qu'il soit possible de sortir les couples d'entiers naturels (x;y) d'une façon beaucoup plus simple. Ou bien cela devient très tordu.

[eudea-panjclinne]

Je pense que tout cela ferait un bon exercice de spécialité S avec algorithme correspondant à étudier.