Nombres complexes

**Jon83** · 07/01/2018, 09h30

Bonjour à tous, et bonne année 2018!

Je dois démontrer dans C que l'expression z^n+(conjugué z)^n est un nombre réel.
Je l'ai fait par récurrence, c'est un peu laborieux mais faisable.
N'y aurait-il pas une autre méthode ?

**God's Breath** · 07/01/2018, 09h54

Bonjour,

Tout simplement : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

**Jon83** · 07/01/2018, 10h07

Merci pour ta réponse, mais il faut admettre que conjugué (z^n)=(conjugué z)^n ?

**gg0** · 07/01/2018, 10h14

C'est une conséquence élémentaire de la formule du conjugué d'un produit.

Donc, comme souvent, tout dépend de ce que tu sais déjà et du degré de rigueur de rédaction que tu t'imposes.

Cordialement.

NB : En général, dans les exercices, on ne redémontre pas tout le cours.

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**God's Breath** · 07/01/2018, 10h15

**Jon83** · 07/01/2018, 10h18

OK, mais ensuite il faut faire une démonstration par récurrence ?

**b@z66** · 07/01/2018, 10h34

Pas besoin de le faire par récurrence, tu peux calculer directement l'expression du résultat final: 2.A^n.cos(n.phi) avec A module de z et phi son argument.

**God's Breath** · 07/01/2018, 10h36

Si tu n'as jamais vu que : $\text{[math]}$ , il faut évidemment faire une récurrence pour le prouver.
Mais c'est une formule usuelle, dont on se sert régulièrement, et qui devrait être dans ton cours. Tu la verras peut-être la semaine prochaine, et cet exercice sert alors à s'y préparer.

**God's Breath** · 07/01/2018, 10h38

Envoyé par b@z66

Pas besoin de le faire par récurrence, tu peux calculer directement l'expression du résultat final: 2.A^n.cos(n.phi) avec A module de z et phi son argument.

Il faut une récurrence pour établir : $\text{[math]}$ , idem pour l'argument…

**b@z66** · 07/01/2018, 10h46

Cet exercice est un exemple typique d'application des formules de Moivre et d'Euler.

**b@z66** · 07/01/2018, 10h55

Envoyé par God's Breath

Il faut une récurrence pour établir : $\text{[math]}$ , idem pour l'argument…

Mouais, je ne vois pas trop pourquoi tu t'attardes sur les modules alors que l'utilisation de Moivre-Euler fait déjà tout le travail.

Après,c'est vrai que la démonstration de la formule d'Euler est plus compliquée mais je ne suis pas sûr qu'on ait besoin de récurrence pour la déterminer.

**God's Breath** · 07/01/2018, 10h57

Si on connaît les formules de Moivre et d'Euler, alors je pense qu'on doit avoir vu le conjugué d'une puissance…

Même en passant par Moivre et Euler, le ressort final est quand même la formule $\text{[math]}$ , et je ne vois pas l'intérêt de calculer explicitement la partie réelle, sauf si le but est d'introduire une difficulté supplémentaire dans l'exercice et de déstabiliser les étudiants.

**b@z66** · 07/01/2018, 11h25

Envoyé par God's Breath

Si on connaît les formules de Moivre et d'Euler, alors je pense qu'on doit avoir vu le conjugué d'une puissance…

Même en passant par Moivre et Euler, le ressort final est quand même la formule $\text{[math]}$ , et je ne vois pas l'intérêt de calculer explicitement la partie réelle, sauf si le but est d'introduire une difficulté supplémentaire dans l'exercice et de déstabiliser les étudiants.

Si tu veux, on peut aussi très bien utiliser cette formule mais je ne vois toujours pas l'intérêt d'utiliser un raisonnement par récurrence(même pour introduire les propriétés liées aux puissances - Moivre) qui me semble superflu et rajoute donc une difficulté inutile.

**God's Breath** · 07/01/2018, 11h58

Parce que je ne sais pas démontrer les résultats sur les puissances sans faire de récurrence…

**b@z66** · 07/01/2018, 12h14

Envoyé par God's Breath

Parce que je ne sais pas démontrer les résultats sur les puissances sans faire de récurrence…

z=A.e(i.phi) d'où z^n=(A.e(i.phi))^n=A^n.(e(i.ph i))^n=A^n.e(i.n.phi). Je ne vois pas où j'ai utilisé de récurrence à moins que vous n'évoquiez de redémontrer par exemple x.x.x.x=x^4 par récurrence en se servant de x.x^n=x^(n+1) mais cela revient à redémontrer laborieusement des résultats connus depuis le collège...

**God's Breath** · 07/01/2018, 12h21

Je ne sais pas prouver $\text{[math]}$ sans récurrence… et, dans un cours normalement constitué, si on a prouvé $\text{[math]}$ , on a aussi prouvé $\text{[math]}$ parce qu'on étudie en principe le conjugué avant la forme trigonométrique…

**b@z66** · 07/01/2018, 12h29

Envoyé par God's Breath

Si tu n'as jamais vu que : $\text{[math]}$ , il faut évidemment faire une récurrence pour le prouver.
Mais c'est une formule usuelle, dont on se sert régulièrement, et qui devrait être dans ton cours. Tu la verras peut-être la semaine prochaine, et cet exercice sert alors à s'y préparer.

z=A.e(i.phi) d'où z^n=(A.e(i.phi))^n=A^n.(e(i.ph i))^n=A^n.e(i.n.phi). De même, (conj(z))^n=A^n.e(-i.n.phi)). On voit tout de suite le résultat: conj(z^n)= (conj(z))^n.

**b@z66** · 07/01/2018, 12h50

Envoyé par God's Breath

Je ne sais pas prouver $\text{[math]}$ sans récurrence… et, dans un cours normalement constitué, si on a prouvé $\text{[math]}$ , on a aussi prouvé $\text{[math]}$ parce qu'on étudie en principe le conjugué avant la forme trigonométrique…

Donc en gros, cela revient à redémontrer (e^a)^b=e^(a.b). OK

On part de la formule x^b=e^(ln(x^b))=e^(b.ln(x)). Je remplace x par e^a pour revenir au résultat recherché: (e^a)^b=e^(b.ln(e(a))=e^(a.b). Démonstration sans récurrence.

**gg0** · 07/01/2018, 13h08

Désolé, B@z66,

mais ta démonstration s'appuie sur une formule ne concernant que les réels (a et b sont des réels). Toi, tu veux l'appliquer dans un cas où elle ne s'applique pas.

Rappel : La formule $\text{[math]}$ est fausse si b et c sont des complexes, et même, la première écriture n'a pas de signification conventionnelle si b est complexe et c n'est pas entier. Bien évidemment, je suppose que a est un réel strictement positif, ici et par la suite :
$\text{[math]}$ est un complexe non réel si c n'est pas nul.
Et il n'y a pas de définition conventionnelle pour les puissances non entière de complexes. Déjà, pour la puissance 1/2, il est nécessaire de choisir la bonne valeur parmi les deux racines carrées, et il n'y a aucune façon de la faire de façon conventionnelle et satisfaisante.

Cordialement.

NB : Pour n entier, la formule $\text{[math]}$ se démontre effectivement par récurrence (pour n>0) et extension aux exposants négatifs.
NBB : Le logarithme d'un complexe pose encore plus de problèmes que la puissance 1/2.

**God's Breath** · 07/01/2018, 13h09

Envoyé par b@z66

Donc en gros, […]

si c'est « en gros », ce n'est pas rigoureux…

Envoyé par b@z66

On part de la formule x^b=e^(ln(x^b))=e^(b.ln(x)).

Comment le logarithme d'un nombre complexe est-il défini ?

Le problème est que la formule de Moivre ne fonctionne que parce que l'exposant est entier, donc la puissance représente un produit répété, et il y a nécessité absolue d'une récurrence sur le nombre de terme du produit.

**b@z66** · 07/01/2018, 14h09

Envoyé par God's Breath

si c'est « en gros », ce n'est pas rigoureux…

Comment le logarithme d'un nombre complexe est-il défini ?

Le problème est que la formule de Moivre ne fonctionne que parce que l'exposant est entier, donc la puissance représente un produit répété, et il y a nécessité absolue d'une récurrence sur le nombre de terme du produit.

Si la fonction exponentielle d'un nombre complexe est définie, la fonction réciproque ln n'a pas de raison de ne pas être définie(au domaine de définition et à la coupure choisie près). Le ln est défini suivant mes souvenirs par sa principale propriété tout d'abord: ln(a.b)=ln a+ ln b. Que a ou b soient réels ou complexes ne posent pas de problème en généralisant la fonction ln tant que la propriété est respectée. Après, le fait qu'on soit limitée avec le ln complexe à rester sur un domaine de définition restreint, par rapport aux arguments, pose problème et c'est sans doute effectivement là la faille de mon raisonnement ...

**b@z66** · 07/01/2018, 14h16

Envoyé par gg0

Désolé, B@z66,

mais ta démonstration s'appuie sur une formule ne concernant que les réels (a et b sont des réels). Toi, tu veux l'appliquer dans un cas où elle ne s'applique pas.

Rappel : La formule $\text{[math]}$ est fausse si b et c sont des complexes, et même, la première écriture n'a pas de signification conventionnelle si b est complexe et c n'est pas entier. Bien évidemment, je suppose que a est un réel strictement positif, ici et par la suite :
$\text{[math]}$ est un complexe non réel si c n'est pas nul.

Je ne comprends déjà pas cette toute dernière formule: le premier terme de l'égalité dépend de b, le second n'en dépend plus.

**God's Breath** · 07/01/2018, 14h17

Au niveau lycée, seules les vraies bijections ont une réciproque ; or la fonction exponentielle n'est définie que sur la droite réelle (qu'elle met en bijection avec ]0,+∞[) et sur le cercle unité, sur lequel elle est 2π-périodique donc non bijectives, mais la fonction exponentielle n'est pas définie sur tout le plan complexe (sur elle est au passage 2π-périodique), il est donc hors de question de faire des coupures, des déterminations principales, etc. toutes choses qui dépendent de l'analyse complexe de L2 ou L3.
On se contente donc des exposants entiers et des récurrences sur les exposants.

**b@z66** · 07/01/2018, 14h49

Envoyé par God's Breath

Au niveau lycée, seules les vraies bijections ont une réciproque ; or la fonction exponentielle n'est définie que sur la droite réelle (qu'elle met en bijection avec ]0,+∞[) et sur le cercle unité, sur lequel elle est 2π-périodique donc non bijectives, mais la fonction exponentielle n'est pas définie sur tout le plan complexe (sur elle est au passage 2π-périodique), il est donc hors de question de faire des coupures, des déterminations principales, etc. toutes choses qui dépendent de l'analyse complexe de L2 ou L3.
On se contente donc des exposants entiers et des récurrences sur les exposants.

Ok, merci bien pour ce rappel.

**gg0** · 07/01/2018, 16h20

Il y a une typo dans ma formule, tu fais bien de le relever B@z66 :
$\text{[math]}$

**gg0** · 07/01/2018, 16h38

Et tu confirmes bien que la formule que tu utilises est fausse : " la fonction réciproque ln n'a pas de raison de ne pas être définie(au domaine de définition et à la coupure choisie près)" (c'est moi qui souligne). Si la coupure est la classique coupure sur les réels négatifs (ils n'ont pas de ln), ln(i)+ln(i) ne peut pas donner ln(-1); et on a des problèmes de continuité du ln qui faussent tout. Sans compter que la propriété ln(a.b)=ln a+ ln b ne se conserve pas, par exemple, toujours avec la même coupure :
$\text{[math]}$

Cordialement.

**gg0** · 07/01/2018, 16h40

Encore une typo dans ma formule (parenthésage) :
$\text{[math]}$

**CARAC8B10** · 07/01/2018, 17h26

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ah je n'avais pas vu qu'il y avait autant de réponses précédentes !

**b@z66** · 08/01/2018, 17h44

Envoyé par gg0

Et tu confirmes bien que la formule que tu utilises est fausse : " la fonction réciproque ln n'a pas de raison de ne pas être définie(au domaine de définition et à la coupure choisie près)" (c'est moi qui souligne). Si la coupure est la classique coupure sur les réels négatifs (ils n'ont pas de ln), ln(i)+ln(i) ne peut pas donner ln(-1); et on a des problèmes de continuité du ln qui faussent tout. Sans compter que la propriété ln(a.b)=ln a+ ln b ne se conserve pas, par exemple, toujours avec la même coupure :
$\text{[math]}$

Cordialement.

Envoyé par gg0

Encore une typo dans ma formule (parenthésage) :
$\text{[math]}$

Merci pour ces précisions, c'est vrai que ces domaines de définition limités compliquent bien la tâche. On peut d'ailleurs sans doute y mettre en rapport assez simplement avec le fait qu'on ne puisse pas définir facilement également des fonctions réciproques pour les fonctions puissances(réelles) sans limiter aussi leur domaine de définition(exemple, la fonction racine carré qui devrait donner deux valeurs opposés). La fonction logarithme complexe donnent aussi plusieurs résultat en fonction de l'expression de l'argument à 2kpi près. J'imagine qu'il devrait peut-être être possible de faire la démonstration de la propriété évoquée précédemment en utilisant une fonction logarithme complexe mais cela implique effectivement de pendre en compte ses limitations, ce qui est sans doute plus compliqué(à faire avec de grosse pincettes) que la démonstration "facile" faite avec le logarithme réel et on sort sans doute là du programme du lycée. Sinon merci pour la correction de l'expression mathématique de $\text{[math]}$ , ça me semble plus cohérent effectivement.

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