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Nombres complexes

  1. Jon83

    Date d'inscription
    avril 2009
    Localisation
    Var
    Messages
    2 006

    Nombres complexes

    Bonjour à tous, et bonne année 2018!

    Je dois démontrer dans C que l'expression z^n+(conjugué z)^n est un nombre réel.
    Je l'ai fait par récurrence, c'est un peu laborieux mais faisable.
    N'y aurait-il pas une autre méthode ?

    -----

     


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  2. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 549

    Re : Nombres complexes

    Bonjour,

    Tout simplement : avec .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  3. Jon83

    Date d'inscription
    avril 2009
    Localisation
    Var
    Messages
    2 006

    Re : Nombres complexes

    Merci pour ta réponse, mais il faut admettre que conjugué (z^n)=(conjugué z)^n ?
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 596

    Re : Nombres complexes

    C'est une conséquence élémentaire de la formule du conjugué d'un produit.

    Donc, comme souvent, tout dépend de ce que tu sais déjà et du degré de rigueur de rédaction que tu t'imposes.

    Cordialement.

    NB : En général, dans les exercices, on ne redémontre pas tout le cours.
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 549

    Re : Nombres complexes

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     


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  6. Jon83

    Date d'inscription
    avril 2009
    Localisation
    Var
    Messages
    2 006

    Re : Nombres complexes

    OK, mais ensuite il faut faire une démonstration par récurrence ?
     

  7. b@z66

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Grenoble
    Âge
    38
    Messages
    3 400

    Re : Nombres complexes

    Pas besoin de le faire par récurrence, tu peux calculer directement l'expression du résultat final: 2.A^n.cos(n.phi) avec A module de z et phi son argument.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  8. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
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    9 549

    Re : Nombres complexes

    Si tu n'as jamais vu que : , il faut évidemment faire une récurrence pour le prouver.
    Mais c'est une formule usuelle, dont on se sert régulièrement, et qui devrait être dans ton cours. Tu la verras peut-être la semaine prochaine, et cet exercice sert alors à s'y préparer.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  9. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 549

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par b@z66 Voir le message
    Pas besoin de le faire par récurrence, tu peux calculer directement l'expression du résultat final: 2.A^n.cos(n.phi) avec A module de z et phi son argument.
    Il faut une récurrence pour établir : , idem pour l'argument…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  10. b@z66

    Date d'inscription
    août 2005
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    Grenoble
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    38
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    3 400

    Re : Nombres complexes

    Cet exercice est un exemple typique d'application des formules de Moivre et d'Euler.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  11. b@z66

    Date d'inscription
    août 2005
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    Grenoble
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    38
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    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Il faut une récurrence pour établir : , idem pour l'argument…
    Mouais, je ne vois pas trop pourquoi tu t'attardes sur les modules alors que l'utilisation de Moivre-Euler fait déjà tout le travail. Après,c'est vrai que la démonstration de la formule d'Euler est plus compliquée mais je ne suis pas sûr qu'on ait besoin de récurrence pour la déterminer.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  12. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
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    9 549

    Re : Nombres complexes

    Si on connaît les formules de Moivre et d'Euler, alors je pense qu'on doit avoir vu le conjugué d'une puissance…

    Même en passant par Moivre et Euler, le ressort final est quand même la formule , et je ne vois pas l'intérêt de calculer explicitement la partie réelle, sauf si le but est d'introduire une difficulté supplémentaire dans l'exercice et de déstabiliser les étudiants.
    Dernière modification par God's Breath ; 07/01/2018 à 11h59.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  13. b@z66

    Date d'inscription
    août 2005
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    3 400

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Si on connaît les formules de Moivre et d'Euler, alors je pense qu'on doit avoir vu le conjugué d'une puissance…

    Même en passant par Moivre et Euler, le ressort final est quand même la formule , et je ne vois pas l'intérêt de calculer explicitement la partie réelle, sauf si le but est d'introduire une difficulté supplémentaire dans l'exercice et de déstabiliser les étudiants.
    Si tu veux, on peut aussi très bien utiliser cette formule mais je ne vois toujours pas l'intérêt d'utiliser un raisonnement par récurrence(même pour introduire les propriétés liées aux puissances - Moivre) qui me semble superflu et rajoute donc une difficulté inutile.
    La curiosité est un très beau défaut.
     

  14. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 549

    Re : Nombres complexes

    Parce que je ne sais pas démontrer les résultats sur les puissances sans faire de récurrence…
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  15. b@z66

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Grenoble
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    38
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    3 400

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Parce que je ne sais pas démontrer les résultats sur les puissances sans faire de récurrence…
    z=A.e(i.phi) d'où z^n=(A.e(i.phi))^n=A^n.(e(i.ph i))^n=A^n.e(i.n.phi). Je ne vois pas où j'ai utilisé de récurrence à moins que vous n'évoquiez de redémontrer par exemple x.x.x.x=x^4 par récurrence en se servant de x.x^n=x^(n+1) mais cela revient à redémontrer laborieusement des résultats connus depuis le collège...
    La curiosité est un très beau défaut.
     


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