Faire sens de la loi exponentielle (densité de probabilité)

[Chuxclub]

Bonjour tout le monde!

Depuis quelques temps je me fais des cheveux blancs pour comprendre les rouages de la loi exponentielle (λ x  e−λx).

Ma première question est: que signifie le lamda? Que représente-t-il? Comment peut-il être interprété? Je sais que dans ce type de loi de probabilité E(X) = 1 / λ. Étant donné que E(X) peut être interprété comme la durée de vie moyenne d'un appareil, j'imagine que λ est la fréquence moyenne de la panne?

Ma deuxième question est: Je sais que la probabilité de la panne (ou désintégration ou autre) est 1 -  e−λx, donc e−λx est la probabilité que l'appareil fonctionne encore après une durée de vie x. De plus, j'interprète la densité de probabilité comme une probabilité par unité de valeur de la variable aléatoire. Dans ce cas, est-ce que λ x  e−λx peut être interprété comme ceci: fréquence moyenne de la panne * proportion d'appareils fonctionnant encore après une durée de vie x = probabilité de la panne par unité de temps? Ou est-ce que je fais fausse route?

Merci infiniment pour vos réponses!
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[gg0]

Bonjour.

Tu sembles utiliser la loi exponentielle dans un contexte de maintenance industrielle. Elle sert beaucoup plus largement, mais restons dans ce cadre.
λ n'est pas vraiment la fréquence moyenne des pannes, mais plus précisément son inverse est la durée de vie sans panne (dans de nombreux cas d'utilisation, la durée de vie, car la panne est définitive). Pour des appareils parfaitement réparables ce serait donc effectivement la fréquence moyenne des pannes.
Dans d'autres domaines, le nucléaire par exemple, on préfèrera lier λ à la "demi-vie".

Pour la suite, j'ai un peu de mal à te suivre, et je ne suis pas sûr que ça serve à quelque chose (*). Ce qui me semble utile est le lien entre statistiques (étude d'une population homogène d'appareils) et modélisation probabiliste, pour une population à taux de panne constant. On trouve ça dans les cours de fiabilité.

Cordialement

(*) transformer une probabilité en une proportion concrète est parfois dangereux.