Volume : pourquoi 4/3 pi R^3 ?

invite8bb4cf25 · 28/06/2006, 14h04

salut,
je suis en troisieme et vient d'apprendre la formule pour calculer le volume d'une boule qui est : 4/3PIR3...mais j'ai demandé a ma prof pK cété 4/3 et pk cété R au cube mais ma prof ma repondu texto "c'est les eleves de terminals qui demontrent ca donc il faudra attendre"...j'espere que qqun de ce forum pourra et voudra bien m'expliquer pourkoi cé ainsi merci d'avance a plus

PS: je suppose que tout le monde aura compris mais jle precise qd meme que je met "PI" car il n'y a pas le symbole correspondant sur mon clavier ...

**Coincoin** · 28/06/2006, 15h01

Salut,
Pourquoi pas ?

Il n'y a pas vraiment de réponse. On peut dire que le cube vient du fait qu'il y a 3 dimensions : ainsi le volume d'une boule varie en R³, la surface d'un disque varie en R², et la longueur d'un segment varie en R. Mais pour le coefficient devant, je ne vois pas trop d'explications à te donner. Ca se démontre mais il n'y a pas de raison profonde.

invite393d3b80 · 28/06/2006, 15h08

Slt,
D'un cote ton prof n'a pas tort, la demonstration du volume d'une sphere necessite la connaissance de la derivation et de l'integration, chose que tu ne connais certainement pas encore.. si jamais il y a pas mal de results sur google
Soit patient, un jour viendra...

PS:Pour ecrire $\text{[math]}$ tu peu utiliser LATEX qui le fait tres bien avec entre balise TEX la "commande" \pi

invite393d3b80 · 28/06/2006, 15h37

le coef vient de l'integration du volume elementaire en coordonnes spherique $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
L'expression de ce volume elementaire n'est pas vraiment simple..
Exemple plus simpliste:
Volume d'un cube => coordonnees cartesienne ( $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ )
le volume elementaire est $\text{[math]}$
l'integration de ce volume sur les 3 variables => x*y*z

si l = largeur du cube, on retrouve bien V = $\text{[math]}$

Les meme calculs sont a realiser avec le V elementaire en spherique mais l'integration n'est pas si triviale

NB: un volume elementaire est le plus petit volume envisageable
en esperant ne pas t'avoir découragé

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8bb4cf25 · 28/06/2006, 16h00

en faite je crois que je vais attendre comme me propose coincoin ... merci qd meme les gars je vais relire encore plusieurs fois ... a+

**Duke Alchemist** · 28/06/2006, 20h40

Bonsoir.

Envoyé par nostress

le coef vient de l'integration du volume elementaire en coordonnes spherique $\text{[math]}$ ...

Ne serait-ce pas plutôt l'intégration de $\text{[math]}$ pour les coordonnées sphériques ?... (Les tiennes étant les coordonnées cylindriques

)
En intégrant pour
$\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$
le résultat est direct...
Après, il suffit de savoir intégrer $\text{[math]}$ suivant $\text{[math]}$ , sin $\text{[math]}$ suivant $\text{[math]}$ et 1 suivant $\text{[math]}$ ...

See ya.
Duke.

invite393d3b80 · 30/06/2006, 08h42

Effectivement, le volume elementaire en coordonnees spherique est le suivant:
$\text{[math]}$
r s'integre de 0 à R
$\text{[math]}$ de 0 à 2 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ de 0 à $\text{[math]}$
On peut faire varier soit $\text{[math]}$ de 2 $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ de 2 $\text{[math]}$ ..
Du moment que l'autre ne varie que jusqu'à $\text{[math]}$ .

Merci pour la correction.
Je dis oup's..

**Cyp** · 03/07/2006, 21h35

Pour répondre à la physicienne, on peut déjà dire que c'est R^3 et pas R^2 ou une autre puissance de R pour que le résultat soit homogène, c'est à dire qu'on ait bien un volume (des mètres cube) et pas des m² ou des m par exemple. Il me semble que y'a un pédagogue américain célèbre qui avait trouvé un moyen d'établir cette formule "avec les mains" et de la faire comprendre à des élèves justement de niveau 3ème. Ca dit quelque chose à quelqu'un ?

Etile · 04/07/2006, 18h29

Le volume élementaire en coordonnée cylindrique est également faux, c'est $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ non ?

**Nox** · 05/07/2006, 11h14

Bonjour,

Totalement exact Etile !

Il manquait un "rho" (c'est tout e même mieux comme ça pour l'homogénéité...)

Cordialemernt,

Nox

**Keorl** · 06/07/2006, 09h59

Ou au lieux d'intéger sur les volume élémentaires, on peut simplement intéger les sufaces sur bas juqu'en haut de la shpère.
Pour allan03, intéger correspond à faire un somme d'un nombre infini d'éléments très petis. Là, il va falloir additionner les volumes de disques très fins empilés pour donner la sphère.
comme tu le sais, la suface du disque est $\text{[math]}$ R²
Le volume d'un disque très fin est donc $\text{[math]}$ R²*dz (où dz est une petite hauteur).

Et quand on intègre une formule en r² , on obtien une formule en (1/3)r^3
Je ne vais pas faire le calcul complet ici, qui donne le (4/3), je ne suis pas sur que tu comprendrais (tu n'a pas fait de trigonométrie), et en plus, je en connais pas le Latex.

**ashrak** · 06/07/2006, 10h14

Une petite question au passage , pourquoi le volume d'une sphère correspond à la primitive de l'aire du disque? (en oubliant la constante ....).

**Cyp** · 06/07/2006, 11h17

ashrak>bonne remarque. Je trouve qu'il est plus facile de retenir que l'aire de la sphère c'est la dérivée de son volume par rapport à son rayon mais c'est pareil.

Pour répondre à ta question, si tu sais que l'aire d'une sphère de rayon r vaut A(r)=4*Pi*r^2 (tu le trouves en intégrant deux fois en coordonnées sphériques par exemple) et qu'après tu veux le volume de la sphère, tu peux faire à la "physicienne" et dire que tu considère deux sphères de même centre, de rayon respectif r et (r+dr). Entre r et r+dr tu as un petit volume qui vaut A(r)*dr. Tu as donc obtenu le volume compris entre deux sphères de rayon très proche, r et r+dr. Maintenant si tu veux le volume de toute la sphère, il suffit de considèrer que ta grande sphère peut se décomposer en succession de volumes d'épaisseur dr et de sommer tous les petits volumes, ce qui revient à intégrer A(r)dr entre 0 et R, rayon de ta sphère. Tu trouveras alors le résultat. C'est une autre façon de voir le volume de la sphère. Maintenant si au lieu d'intégrer en faisant varier r de 0 à R, tu intègres de 0 à x. Ton volume est une fonction de x : V(x)=int(4*Pi*r^2*dr,r=0..x). Si tu dérives V tu obtiens bien dV/dx = l'aire de la sphère de rayon x

. J'espère que c'est un peu plus clair...
++ Cyp

P.S : personne ne voit de qui je veux parler ici :

Il me semble que y'a un pédagogue américain célèbre qui avait trouvé un moyen d'établir cette formule "avec les mains" et de la faire comprendre à des élèves justement de niveau 3ème. Ca dit quelque chose à quelqu'un ?

?

P.P.S : je sais qu'on devrait parler du volume d'une boule et non pas d'une sphère mais bon...

**Gabriel** · 06/07/2006, 12h57

Pi est légèrement plus grand que 3 (3,14...).
Approximons Pi = 3
Volume de la sphère = 4/3 Pi R^3 est à peu près égal à :
V = 4 R^3
Par exemple , une sphère de rayon R=1 mètre, V=4 mètre-cube (environ).

Si on imagine la sphère inscrite dans un cube d'arète = 2 mètres, volume du cube = R^3 = 2^3 = 8 mètre-cube.

Donc la sphère occupe à peu près la moitiée du cube dans lequel elle est inscrite.

L'astuce d'approximer Pi = 3 permer de calculer très rapidement l'ordre de grandeur d'un résultat, et donc de corriger d'éventuelles erreurs de calculs.
Je l'utilisais très souvent quand j'étais au lycée.

**ashrak** · 06/07/2006, 16h45

Merci Cyp , je savais comment obtenir le résultat ... C'est plutôt sur une considération géométrique que je voulais amener par ma question. Cette propriété vient-elle de la construction que l'on peut faire de la sphère à partir du disque? (une rotation par exemple...)

**Cyp** · 06/07/2006, 18h56

Je ne peux hélàs pas te répondre même si je pense qu'il doit y avoir une raison géométrique comme tu dis et qui évite d'utiliser du calcul intégral. La réponse m'intéresse aussi si quelqu'un l'a...

**azt** · 06/07/2006, 21h34

Bonjour,

Envoyé par ashrak

Une petite question au passage , pourquoi le volume d'une sphère correspond à la primitive de l'aire du disque? (en oubliant la constante ....).

C'est simplement une coïncidence mathématique.

Cela ne marche pas pour un cube si on écrit la surface et le volume en fonction d'un côté; par contre si on les écrit en fonction d'un autre paramètre cela marche ! je vous laisse chercher quel est le bon paramètre

invite19415392 · 07/07/2006, 12h41

Le 'rayon' du cube

**Gabriel** · 07/07/2006, 14h22

Expérience : plonger un ballon de foot (sphère) dans un seau cubique rempli d'eau.
On voit concrètement que le volume de la sphère est égal à la moitiée du volume du cube dans lequel elle s'inscrit (à un chouia près).

Autre exemple : Rayon de l'univers = 13,7 Année-lumière
En admettant que l'univers est une sphère et que l'espace n'a que 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur), le volume de l'univers est environ égal à
V ~ 4 R^3 = 4*(13,7)^3 Année-lumière au cube
V ~ 4000 Année-lumière au cube

Aux dernières nouvelles, l'univers aurait 11 dimensions !
Comment calculer le volume d'une hyper-sphère à 11 dimensions ?

**Keorl** · 07/07/2006, 14h27

Envoyé par ashrak

Merci Cyp , je savais comment obtenir le résultat ... C'est plutôt sur une considération géométrique que je voulais amener par ma question. Cette propriété vient-elle de la construction que l'on peut faire de la sphère à partir du disque? (une rotation par exemple...)

Le calcul que je fais ne vient pas d'une rotation, mais d'un empilement de disques d'une certaine épaisseur.
Les disques considérés étant très fins (d'épaisseur dz), on peut considérer leur volume comme étant l'aire*hauteur (alors que dans une sphère, le disque découpé se rétrécit vers le haut).
Bien sur, pour intégrer, on remplace dans la formule de l'aire, le rayon r par son expression en fonctione de z, c'est à dire R* cos(arcsin(z/R)) = R* (racine de (1- (z/R)²))
= racine de (R²-z²)

Et dans ce cas, je ne vois rien qui empeche d'appliquer à un cube, en empilant des carrés d'épaisseur dz.
ça donne intégrale de 0 à a de a*a*dz = a*a*a, ce qui est le bon résultat
(va falloir que j'apprenne le Latex

)

Si tu essaie de trouver le volume de la sphrère en faisant tourner un disque selon un de ses rayons, tu ne peux plus considérer simplement un disque fin, mais intégrer entre 0 et 2 $\text{[math]}$ une sorte de disque fin au milieu et qui s'épaissit vers le bords, en partant du milieu avec un angle d(théta). dont on ne connait pas le volume.

**ashrak** · 07/07/2006, 17h41

Je ne parlais pas du tout du calcul .. qui est classique. Mais il faut avouer que trouver un volume à partir de la surface par une simple primitive me paraissait correspondre avec les symétries propres à la sphère. Juste une constatation .... Pour le cube effectivement en trouvant le bon paramètre
cela marche également.

**Keorl** · 09/07/2006, 18h48

Envoyé par Gabriel

Autre exemple : Rayon de l'univers = 13,7 Année-lumière
En admettant que l'univers est une sphère et que l'espace n'a que 3 dimensions (longueur, largeur, hauteur), le volume de l'univers est environ égal à
V ~ 4 R^3 = 4*(13,7)^3 Année-lumière au cube
V ~ 4000 Année-lumière au cube

Aux dernières nouvelles, l'univers aurait 11 dimensions !
Comment calculer le volume d'une hyper-sphère à 11 dimensions ?

Je sais que c'est hors sujet, mais je vais répondre à ça quand même!
En admettant que l'univerd soit un sphère. Une possibilité parmis tant d'autres... en admettant qu'il soit fini!
Quant à son rayon: 13.7 AL. D'où tiens tu ça? Ce n'est pas parce que les objets les plus lointais détectés sont à 13.7 MILLIARDS d'AL (ce qui augmente beaucoup le volume que tu calcules ^^) que l'univers s'arrête là, avec, comme par hasard, le système solaire au centre!
L'univers n'a pas de centre, il me semble, et en tout cas pas nous.
De plus, si on ne détecte rien au delas de 13.7 10^9 AL, c'est parce que l'age de l'univers et de 13.7 10^9 années. Etant donné que la lumiere voyage à 1 AL par an (par définition de l'AL), la lumiere des objets plus lointain n'a pas pu nous parvenir. Ce qui ne prouve pas qu'il n'y a pas.

Ensuite, pour les 11 dimensions, sache que ce n'est qu'une théorie parmis d'autres (il me semble que les 11 dimensions font partie de la théorie des cordes?).
Et pour le volume, ça ne change rien. Ce qu'on appelle le volume estcalculé dans les 3 dimensions "visibles". Ou alors, il faut revoir aussi le volume d'une sphère quelquonque, puique les 11 dimensions ne s'appliquent pas seulement à l'univers à partirs de la Lune ou hors de notre galaxie, mais à tout. (logique)

Evidemment, il existe en mathématiques des formules de calcul des distances en dimension N , qui sont les mêmes qu'en dimension 2 ou 3. d'où le "volume multidimensionnel" en intégrant ça selon N variables. Mais je ne vois pas bien quel interet ça aurait.

**azt** · 09/07/2006, 18h55

Envoyé par ashrak

Je ne parlais pas du tout du calcul .. qui est classique. Mais il faut avouer que trouver un volume à partir de la surface par une simple primitive me paraissait correspondre avec les symétries propres à la sphère. Juste une constatation .... Pour le cube effectivement en trouvant le bon paramètre
cela marche également.

Je pense que s'il y avait une raison pour cette relation, il faudrait trouver un sens alors pour 8*pi*R, qui est la dérivée de la surface de la sphère.
A première vue, je ne vois pas.

**Gwyddon** · 09/07/2006, 23h50

Envoyé par aze555666

Evidemment, il existe en mathématiques des formules de calcul des distances en dimension N , qui sont les mêmes qu'en dimension 2 ou 3. d'où le "volume multidimensionnel" en intégrant ça selon N variables. Mais je ne vois pas bien quel interet ça aurait.

Pourtant ce genre de calcul a un interêt physique très fort en physique statistique par exemple, où l'on raisonne dans un espace des phases à 6N dimensions (où N est le nombres de particules, souvent de l'ordre de 10²³ )

**Gabriel** · 11/07/2006, 12h59

Rectificatif à ma grossière erreur :

Rayon de l'univers = 13,7 Milliards Année-lumière
Ru = 13,7 * 10^9 Année-lumière

Volume de l'univers = Vu = 4/3 Pi R^3

Approximons pour pouvoir faire un calcul rapide de tête :
Vu # 4 Ru^3
Vu # 4*(13,7*10^9)^3 Année-lumière-cube
Vu # 4*10^4*10^27 Année-lumière-cube
Vu # 4*10^31 Année-lumière-cube
Vu # 40.000 Milliards de Milliards de Milliards Année-lumière-cube

**neutrino éléctronique** · 16/07/2006, 19h42

Bonjour à tous!!!

Moi aussi je suis en troisième (enfin à la rentrée

)
et je vous remercie pour votre conversation !!
: comme ça je vais pouvoir épater mon prof de maths

PS: l'Univers à 11 dimensions n'est simplement qu'une "conséquence" de la théorie des cordes, et cette théorie est très controversée et non validée!

**Gwyddon** · 16/07/2006, 21h40

Envoyé par neutrino éléctronique

Univers à 11 dimensions n'est simplement qu'une "conséquence" de la théorie des cordes, et cette théorie est très controversée et non validée!

Ce n'est pas une conséquence, c'est un cadre conceptuel nécessaire pour la "vie" de la théorie.

De plus, dire qu'elle est controversée est inexact. Elle est considérée comme un modèle théorique sérieux candidat à l'unification ; cependant, et là tu as raison, elle n'est pas encore pour l'instant à l'épreuve expérimentale. Il faut attendre d'atteindre certaines échelles d'énergie pour ça, on y travaille activement

**neutrino éléctronique** · 17/07/2006, 13h13

C'est pour cela que j'ai mis conséquence entre guillemets

.
De plus cette théorie à besoin d'une particule: le graviton et cette particule, on ne sait pas si elle existe: elle est controversée

**Prepaprepa** · 16/08/2015, 22h20

merci de l'aide

Volume : pourquoi 4/3 pi R^3 ?

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