Les barycentres

[invite09cdbe9d]

Bonjour !

J'ai un devoir de math pour dans 1 petite semaine, je galère vraiment et dés le début de l'année ça le fait pas alors je suis là pour vous demandez votre aide.

Exercice 2:
Soit ABCD un tétrèdre: on nomme I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Faire la figure.

Soit G le barycentre des 4 points pndérés (A;1), (B;2), (C;1), (D;2).

1. Soit K = bar {(A;1), (B;2)} et L = bar {(C;1), (D;2)}. Construire K et L et les placer sur la figure. Démontrer que G est le milieu de [KL]. Construire G.

2. Démontrer que les points I, J, G sont alignés et préciser la position du point G à l'aide d'une relation vectorielle.


J'ai déjà commencé la question 1 mais je ne sais pas si c'est juste.
1. Pour construire les points K et L, j'ai utilisé la relation de Chasles:
KA + 2KB = 0
KA + 2KA + 2AB = 0
3KA + 2AB = 0
AK = 2/3 AB

LC + 2LC = 0
LC + 2 LC + 2CD = 0
3LC + 2 CD = 0
CL = 2/3 CD
Quelqu'un peut me dire si c'est juste ?

Ensuite pour le 2. je ne sais pas comment faire pour démontrer que G est le milieu de [KL] et que 3 points sont alignés ? J'ai essayé de regarder dans mon livre vu que l'on a pas encore fait de cours la dessus, mais en vain !
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[Jeanpaul]

Ce que tu as fait est juste.
Dans ton cours, tu as dû apprendre qu'on peut construire un barycentre de 4 points en groupant les points 2 par 2. C'est d'ailleurs ce que te propose l'exo en groupant A et B d'une part et C et D d'autre part.
G est donc le barycentre de K et L affectés des poids ...

Tu peux ensuite regrouper autrement : A et C d'une part et B et D d'autre part. G est alors le barycentre de I et J affectés des poids ...

Pour démontrer que 3 points sont alignés, il suffit de prouver qu'un des points est le barycentre des 2 autres affecté des poids qui vont bien.

[invite09cdbe9d]

Soit S = {(A;1) , (B;2) , (C;1) , (D;2)}
1 + 2 + 1 + 2 n'est pas égale à 0, donc S admet un barycentre G.
On peut poser:
K = bar {(A;1) , (B;2)} et L = bar {(C;1) , (D;2)}
G = bar {(A;1) , (B;2) , (C;1) , (D;2)}
G = bar {(K;3) , (L;3)}
G = bar {(K;1) , (L;1)}
Donc G est l'isobarycentre de K et L, or l'isobarycentre de 2 points est le milieu du segment.
C'est juste ?

Ensuite pour la question 2. je vois pas comment faire ! Je sais qu'il faut utilisé le théorème d'associativité mais je vois pas comment...

[Jeanpaul]

OK
Ne te reste plus qu'à faire exactement le même calcul en utilisant I et J au lieu de K et L.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite09cdbe9d]

Je ne comprends pas comment je dois m'y prendre car pour le 1. j'avais les coordonnées de K et L, je pouvais donc faire le calcul mais pour les points I et J, je n'ai rien.

[Jeanpaul]

Je ne comprends pas comment je dois m'y prendre car pour le 1. j'avais les coordonnées de K et L, je pouvais donc faire le calcul mais pour les points I et J, je n'ai rien.

Si tu sais que I est le milieu de AC, c'est que I est le barycentre de A et C affectés des poids 1 et 1. C'est exactement comme pour le début mais les lettres et les poids changent, c'est tout.

[invite09cdbe9d]

On regroupe les points (A;1) et (C;1) dont le barycentre de ces points est le milieu I de [AC]. De même pour les points (B;2) et (D;2) dont le barycentres est le milieu J de [BD]

D'après le théorème d'associativité G = bar {(I;2) , (J;4)}. Alors I, J, G sont alignés et vérifie cela:
GI + 2GJ = 0
GI + 2GI + 2IJ = 0
3GI + 2IJ = 0
3GI = -2IJ
IG = 2/3 IJ

C'est ça ? Si oui, est ce que la redaction est bonne ?!

[Jeanpaul]

Ca a l'air bon, peut être préciser que c'est le même point G que dans la première partie, faut voir...

[invite09cdbe9d]

Okay, je le préciserai ! Merci beaucoup de m'avoir aider mister !