Racines n-ième de l'unité

[Karine942]

Bonjour,

Je cherche à calculer les racines n-ièmes de l'unité pour un nombre complexe. Or je ne sais pas comment faire, quelqu'un peut -il me donner une méthode générale pour faire cela?

Merci d'avance
Karine

[gillesh38]

utilise la représentation polaire *et cherche à résoudre l'équation , sans oublier que theta est défini à 2pi près, ça devrait aller . Jete conseille aussi de représenter graphiquement les solutions dans le plan complexe pour les "visualiser".

[Karine942]

ok ça je l'avais dans mon cours, on m'a dit que je pouvais écrire: z= exp((i theta pi)/n) est ce vrai dans tous les cas?

et pour mettre à z^n=1 je fais comment qand j'ai par exemple:
z^6= 4/(1+2i)

Merci

[GuYem]

Salut Karine, Gilles n'a pas trés bien compris ta question je crois.

Disons que tu connais les racines de l'unité, ce sont les solutions de z^n=1. Il y en a n et elles s'écrivent avec k variant de 0 à n-1.

Si maintenant tu veux résoudre, par exemple, , il te suffit de trouver UNE racine 6ième de 4/(1+2i). En effet, disons que j'en ai trouvé une, que j'appelle b. Alors ton équation se résouds comme suit :


Posant y=z/b, ça se réécrit , que tu sais résoudre puisque tu connais les racines 6ièmes de 1 rappelées plus haut. Reviens en z et c'est fini.

Moralité : si tu veux résoudre une équation du type z^n=truc, il te suffit d'UNE racine n-ième de truc pour avoir toutes les solutions.

[Karine942]

Ok je comprends le sens de ton message maintenant la question qui me vient à l'esprit est:

1) comment calculer la racine 6ème de 4/1+2i parce que tu l'appelles b mais je ne sais pas comment transformer ça en exp(2ikpi/n).

Merci d'avance

[invité576543]

Ok je comprends le sens de ton message maintenant la question qui me vient à l'esprit est:

1) comment calculer la racine 6ème de 4/1+2i parce que tu l'appelles b mais je ne sais pas comment transformer ça en exp(2ikpi/n).

Merci d'avance

Il n'y a aucune raison a priori qu'une racine 6ème de soit une racine sixième de l'unité! (Et d'ailleurs 16/5 <> 1 est une bonne raison pour le contraire...)

Pour trouver une racine nième d'un nombre complexe, il faut d'abord le mettre sous forme polaire, , Gilles te l'as déjà écrit!

Cordialement,

[gillesh38]

effectivement je n'avais peut -être pas très bien compris la question mais peut être que Karine non plus . A la relecture "calculer les racines n-ièmes de l'unité pour un nombre complexe" ne veut rien dire, as-tu bien réalisé que "l'unité" veut dire simplement le nombre 1 ? je crois comprendre que tu veux simplement calculer les racines n-ièmes d'un nombre complexe (pas seulement de l'unité), c'est ça?

dans ce cas c'est le même principe que je t'ai indiqué, tu as effectivement tout interêt à mettre ton nombre initial (par exemple 4/1+2i ) sous la forme polaire en cherchant son module et son argument.

[Karine942]

En ait, je crois avoir mélangé deux expressions: calculer les racines n-ième et pour cela chercher zⁿ=1 qui est la racine nième de l'unité.

pour trouver ça il me suffit de mettre sous forme exponentielle?

merci pour toutes vos reponses

[aude 0208]

Bonjour
personellement je cherche à calculer la somme des racines septièmes de l'unité c'est-à-dire 1+w²+w³+w⁴+w⁵+w⁶
avec w=exp(2ipi/7)
pouvez vous m'aider ?

[Seirios]

Bonjour,

Pense à utiliser l'expression donnant la somme des termes successifs d'une suite géométrique.

[invite986312212]

fais un dessin et tu auras la solution sans calcul.

[aude 0208]

d'accord et merci beaucoup à tous les deux

[aude 0208]

comment peut-on prouver que 1 + 2cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) = 0 ?

[God's Breath]

En exprimant les cosinus à l'aide d'exponentielles complexes

[aude 0208]

oui j'ai essayer mais j'arrive à cl'expression suivante dont je ne sais trop koi faire : 1+exp(2ipi/7)+exp(-2ipi/7)+exp(4ipi/7)+exp(-4ipi/7)+exp(6ipi/7)+exp(-6ipi/7)=0