[Exo] Associativité de la différence symétrique

dj_titeuf · 08/10/2006 - 15h42

Bonjour,

Comment prouver que la différence symétrique est associative? (ou encore que $A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C$ ).

Je définis la différence symétrique comme cela:

$A \Delta B = A {} \, \cup \, {} B$ \ $A {} \, \cap \, {} B$

Mais je ne vois pas comment le prouver ..

¨Pouvez-vous me montrer svp?

Merci d'avance.

GuYem · 08/10/2006 - 17h01

Eh bien je crois qu'il ne faut pas avoir peur et procéder par double inclusion, bon courage ...

dj_titeuf · 08/10/2006 - 17h20

En effet, je pensais faire comme cela, d'abord dans un sens, puis dans l'autre, mais je ne vois pas comment partir .. Par exemple en montrant d'abord que $A \Delta (B \Delta C) \subset (A \Delta B) \Delta C$

ChromoMaxwell · 08/10/2006 - 19h46

Le mieux est de faire une table de vérité selon qu'un élément est ou non dans A, idem pour B et C, ce qui te fait 8 cas. Tu fais de même pour l'autre parenthésage et tu vois que tout coïncide.

Sinon à un niveau plus élevé, tu montres que l'indicatrice de la différence symétrique est la somme des ensembles dans le corps F_2. Et ça permet de conclure grâce à l'associativité de l'addition dans F_2.

martini_bird · 08/10/2006 - 20h00

Salut,

les fonctions caractéristiques et leurs propriétés peuvent s'avérer fort utiles : développe $\varphi_{A\Delta(B\Delta C)}$ et le résultat tombe tout de suite...

Cordialement.