R : Q-Espace Vectoriel

[prgasp77]

Bonjour à tous.
Je cherche à démontrer que est un espace vectoriel. Mais surtout à comprendre ce que cela signifie ^^

Mes recherches n'ont pas été brillantes, mais j'ai tout de même appris qu'il s'agissait en réalité d'un Espace vectoriel de dimension infinie ... Ca ne m'avance pas

Pouvez-vous m'ader ?
Merci.
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[martini_bird]

Salut,

j'imagine que tu as bien en tête la structure de corps de : pour le voir en tant que -espace vectoriel, il faut que tu oublies cette structure en ne conservant que l'addition des réels et la multiplication par un rationnel.

Par exemple, et sont ainsi vus comme des "vecteurs" non-colinéaires, car il n'existe pas de scalaires q et q' non tous nuls tels que .

Autre exemple : les puissances de sont des "vecteurs" indépendants car est transcendant. Une -base de contiendrait donc au moins un vecteur pour chacune de ces puissances, donc est infinie.

En fait, c'est bien pire, car pour parler de -base de , il faut invoquer l'axiome du choix car il n'existe pas d'algorithme permettant de la construire. Cette base n'est pas dénombrable (sinon le serait).

Enfin, l'étude de en tant que -ev (ou ce qui revient au même du quotient ) demeure un défi aujourd'hui pour comprendre les propriétés de transcendance et d'indépendance algébrique des réels.

Cordialement.

[GuYem]

Wahou, la réponse de Martini est un peu violente à mon gout pour cette question, mais il faut le pardonner, il s'est emporté !

Reprends ton cours, en particulier la définition des espaces vectoriels et prends, avec les notations habituelles : E = R, K = Q.

Sur E,
-on définit l'addition (x,y) -> x+y (c'est l'addition de R)
-on définit la mulitplication d'un élément x dans E par un scalaire lambda dans K par (lambda,x) -> lambda*x (encore une fois, c'est la multiplication de R).

Il ne te reste qu'à vérifier que ce sont des bonnes définitions qui font de R un Q-espace vectoriel.

[Gwyddon]

Il y a un théorème très général d'ailleurs qui stipule que si K est un sur-corps de L, K est un L-espace vectoriel

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

Wahou, la réponse de Martini est un peu violente à mon gout pour cette question, mais il faut le pardonner, il s'est emporté !

S'il ne s'agit que de montrer que est un -ev, il suffit en effet de vérifier les axiomes.

Cordialement.

[GrisBleu]

Salut

Soit A l ensemble des nombres algebriques, ca me semble un corps. R est donc un A-ev. Il est bien tarte celui la aussi comme ev

A t il des proprietes speciales par rapport a R comme Q-ev ? peut on le construire a partir de R comme Q-ev de maniere non triviale ?

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[prgasp77]

Reprends ton cours, en particulier la définition des espaces vectoriels et prends, avec les notations habituelles : E = R, K = Q.

Sur E,
-on définit l'addition (x,y) -> x+y (c'est l'addition de R)
-on définit la mulitplication d'un élément x dans E par un scalaire lambda dans K par (lambda,x) -> lambda*x (encore une fois, c'est la multiplication de R).

Il ne te reste qu'à vérifier que ce sont des bonnes définitions qui font de R un Q-espace vectoriel.

En effet, se construit bien comme un -espace vectoriel. Mais j'aimerais maintenant comprendre cela. Alors je suis le conseil de martini_bird, j'oublie ce qu'est . est -espace vectoriel => = avec fini ou non. Il est alors possible de déterminer une base de : il s'agit de



avec inconnu (dénombrable ou non) et une famille d'éléments de . Maintenant que nous possédons uen base de , nous pouvons construire n'importe quel nombre à partir de coordonnées , avec :





où les sont des éléments de (les comosantes des ).
Donc, finalement, j'apprends que tout réel est composé de composantes rationnelles.
Mais comment passer d'un vecteur de dimension à un scalaire (que sont en réalité les réels) ?



Je vous remercie d'éclairer ma lanterne sur un sujet qui me semble autant profond qu'intéressant.

[Gwyddon]

Là tu fais des suppositions dès le départ qui n'ont pas (a priorià lieu d'être. En effet, écrire avec n fini ou non, c'est présupposer que :

_ tu es sûr qu'il y a une base sur ton espace (or il faut l'axiome du choix pour cela !)

_ que la base en question soit dénombrable (or il existe des bases continues...).

Bref ces deux suppositions ne sont pas à prendre en compte pour savoir si oui ou non est un -espace vectoriel.

Ensuite tu fais des confusion dans l'écriture dans une base, en introduisant les qui n'ont pas lieu d'être (ou alors tu écris si i=j, 0 dans les autres cas : tu vois donc que ça ne sert à rien de les introduire). Ensuite le concept de scalaire est relié à la structure d'espace vectoriel, donc un réel n'est pas toujours un scalaire (ici par exemple le scalaire c'est le rationnel, pas le réel). Donc un scalaire n'est pas toujours un réel non plus.

[martini_bird]

Salut,

j'ajoute que les vecteurs n'admettent qu'un nombre fini de composantes non-nulles (sinon gros problème de convergence à la clef).

prgasp77 : reprend la définition des ev et vérifie chacun de ses axiomes.

Cordialement.

[Sylvestre]

Bonjour,

juste pour vous distraire sur ce sujet, je vous propose un petit exercice :

Montrer que les groupes additifs et sont isomorphes.