calcul valeurs et vecteurs propres d'une matrice

lya68 · 14/10/2006 - 11h27

Bonjour, je dois trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice 3*3. Je ne sais pas comment il faut faire, je sais le faire seulement pour une matrice 2*2. Pouvez vous m'aider? Surtout pour les velrus propres.
Merci.
matrice A= (0 1 0, 0 0 1, 1 -3 3)
comment savoir aussi si elle es diagonalisable?

Coincoin · 14/10/2006 - 11h55

Salut,
Si tu sais faire en dimension 2, qu'est-ce qui te gêne en dimension 3 ?

IceDL · 14/10/2006 - 12h04

Bonjour,

La méthode pour determiner valeurs propres/vecteurs propres d'une matrice 3*3 est la même que pour une matrice 2*2.

Dans un cas pratique comme le tien, le plus simple est de calculer le polynôme caractéristique $P(x)=Det(A-x*I_{3})$ et de rechercher ses racines qui sont exactement les valeurs propres (eventuellement complexes) de la matrice A.

Une fois connues les valeurs propres $\lambda_{1},\ \lambda_{2},\ \lambda_{3}$ de ta matrice A, on determine les sous espaces propres de A en resolvant les systèmes 3*3 de la forme $AX=\lambda X$ .

Si tu t'aperçois que la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre associée (en tant que racine du polynôme caractéristique), alors tu peux affirmer que ta matrice est diagonalisable et donner une matrice de passage...

En espérant avoir répondu à tes questions.
N'hésite pas à en poser d'autres si tu veux plus de détails.

@+

lya68 · 14/10/2006 - 15h57

Merci pour toues ces reponses, je me suis mal expliquée en aite , je sais faire pour une matrice 2*2, je fais le determinant de det(A-xI2) et je rouve un polynome, qui me donne apres les valeurs propres. Avec une matrice 3*3 je ne sais pas comment faire car je n'ai pas vue en court la methode pour calculer le det d'une marice 3*3 alors je ne sais pas comment trouver le polynome.

Coincoin · 14/10/2006 - 16h02

Si tu ne connais pas la règle pour calculer le déterminant (règle de Sarrus ou développement suivant une ligne ou une colonne), il faut que tu essayes de ruser pour voir quand est-ce que les colonnes (ou les lignes) de $A-\lambda I_3$ ne forment pas une base. Si tu ne vois pas, donne-nous ta matrice qu'on voit ce qu'on peut faire...

fderwelt · 14/10/2006 - 16h53

Bonjour,

À toutes fins utiles, ci-joint un petit schéma pour le calcul d'un déterminant 3x3, qui ressemble furieusement au calcul d'un déterminant 2x2. Il suffit de recopier les deux premières lignes sous la matrice, et de suivre les flèches.

Mais ça ne marche plus à partir de 4x4...

-- françois