fonction arccosinus...

[invite95b79651]

Ecrire x = arcsin(cos(-3.8)), sous la forme x = a + b , avec a et b des nombres rationnels.
est ce que quelq'un pourrai me doner une piste car je ne sais pa comment faire
silvouplai
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[Algieba]

Bonjour,

Es-tu sûr que ce soit sous la forme "a + b avec a et b rationnels" ? Ce ne serait pas plutôt "a + b*pi avec a et b rationnels" ? J'ai bien peur que l'exercice soit impossible sinon.

A part ça, tu peux essayer de simplifier directement la fonction arcsin(cos(x)) : sur un intervalle sur lequel cette fonction est définie et dérivable, tu la dérives. Ensuite tu trouves une primitive plus simple (vraiment plus simple en fait !).

Attention ! La primitive est définie à une constante près, que tu devras déterminer...

Le reste devrait aller tout seul !

[invite95b79651]

si tu as raison
mai je n'arive pa
je compren pa
tu pourrai pa me dire toute les étapes que tu fai
pour trouver la solution silteplai

[Algieba]

Dis voir, tu fais faire tout ton DM sur internet ?? Bref...

Si tu connais la dérivée de Arcsin, cela devrait aller tout seul. On se place sur l'intervalle ]0 ; pi[ sur lequel la fonction x -> Arcsin(cos(x)) est définie et dérivable (vérifie le).

(Arcsin(cos(x))' = -sin(x) * 1/(racine(1-cos(x)²))

= -sin(x)/|sin(x)|

Or sur ]0 ; pi[, sin est positive donc :

(Arcsin(cos(x))' = -1

Cela veut dire, en primitivant :

Arcsin(cos(x)) = -x + k où k est une constante

Calcule-la par exemple pour x=pi/2. Et tu n'as plus qu'à appliquer cette formule pour x=3,8...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Algieba]

J'ai oublié de préciser que tu dois ramener 3,8 dans l'intervalle de définition, c'est-à-dire dans ]0 ; pi[. Comme ta fonction est périodique, ça ne pose pas de problème, tu appliques la formule avec (3,8-pi).

[Algieba]

Désolé, je viens de voir que je m'étais trompé dans mon message précédent...

Il faut bien voir que la fonction x -> Arcsin(cos(x)) que l'on a simplifié sur l'intervalle ]0 ; pi[ est paire et 2pi-périodique. Avec ceci, la simplification que l'on a faite ne peut pas être étendue directement.

Pour x dans ]0 ; pi[ : Arcsin(cos(x)) = -x + pi/2

On l'étend d'abord sur ]-pi ; 0[ : Arcsin(cos(x)) = x + pi/2

En 0⁺ et 0^-, la fonction tend vers pi/2. En pi^- et -pi⁺, elle tend vers -pi/2. On arrive donc à la fonction continue définie par :

x + pi/2 , pour x dans [-pi ; 0]
-x + pi/2 , pour x dans [0 ; pi[

La fonction est maintenant définie sur un intervalle de 2pi, on la prolonge par périodicité sur R tout entier. Ainsi, pour calculer Arcsin(cos(3,8)), comme 3,8 est dans l'intervalle [-pi + 2pi ; 0 + 2pi], on translate de 2pi et on applique la formule.

On trouve : Arcsin(cos(3,8)) = Arcsin(cos(3,8-2pi)) = 3,8 - 2pi + pi/2 = 3,8 - 3pi/2

Encore toutes mes excuses pour cette erreur...