Implications géométriques de l'équation de Fermat

[Gaétan Mbama]

On part de la proposition que l'équation de Fermat xⁿ+yⁿ=zⁿ exprime une relation qui existe lorsqu'on relie trois (03) segments distincts de droite de mesure respective x, y et z en triangle.

D'après Pythagore, ce triangle est rectangle lorsque n=2.

Mais lorsque n=1, l'équation de Fermat s'écrit x+y=z. de cette relation, on établit la propriété suivante:

Propriété: Si dans un triplet de nombres, l'un est la somme des deux autres, alors ce triplet vérifie l'équation de Pythagore pour n=1. Ces trois (03) nombres dans ce cas représentent trois segments de droite alignés sur un même axe et disposés de la manière suivante: les deux premiers (x et y) se mettent bout à bout et le troisième (z) qui est leur somme se superpose sur ceux-ci.

De cette propriété et du théorème de Pythagore, on peut tirer la conséquence suivante:

Conséquence: Si le triplet (a,b,c) vérifie l'équation de Pythagore, alorsle triplet (a²,b²,c²) vérifie l'équation de Fermat pour n=1. Autrement dit, si (a,b,c) constitue un triangle rectangle, alors le triplet (a²,b²,c²) constitue un triangle "plat" c'est-à-dire si l'angle entre a et b est égal à 90°, alors celui entre a2 et b2 sera égal à 180°.

Mais on est en droit de se demander qu'est ce qui se passe lorsque n est supérieur à 2?

Pour répondre à cette intérrogation, je propose la formule suivante qui découle du rapprochement que je fais entre l'équation de Fermat et le théorème des cosinus:


A ici n'est autre que l'ouverture d'angle entre les côtés x et y d'un triangle quelconque.

On montre sans difficultés que lorsque:

1. n=1, A est égal à 180°, dans ce cas (x,y,z) constitue un triangle "plat"
2. n appartient à l'intervalle ]1,2[, A>90° - (x,y,z) constitue un triangle obtus
3. n=2, A=90° - (x,y,z) constitue un Triangle rectangle
4. n>2, A<90° - (x,y,z) constitue un Triangle scalène

L'exposant n apparaît comme un indice qui permet de classifier la famille des triangle.
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[Gaétan Mbama]

Pour répondre à cette intérrogation, je propose la formule suivante qui découle du rapprochement que je fais entre l'équation de Fermat et le théorème des cosinus:


Lire :

[Gwyddon]

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Je ferme donc celle-ci et t'invite à discuter de tout ça dans la discussion que tu as ouverte juste avant.

Pour la modération,

Gwyddon