PGCD et PPCM

[invite6070dc17]

bonjours j'ai un probleme sur un exos

on me donne PPCM(a;a+5)=PPCM(b;b+5). on appele M la valeur des deux PPCM
il faud demontrer que si M est premier avec 5 alors a(a+5) et b(b+5) sont premier entre eux

alors je suppose qu'il faud demontrer que a(a+5)u+b(b+5)v=1. alors j'ai essayer d'ecrire les PGCD de (a;a+5) et (b;b+5) mais je n'arrive pas dutout a une ecriture comme celle du debut

merci de m'aider a commencer
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[indian58]

Il faut montrer que PGCD(a(a+5),b(b+5))=1. Il y a une formule reliant le ppcm au pgcd...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Autre remarque : Le pgcd d de a et a+5 divise 5, donc c'est soit 1, soit 5. Si c'est 5, alors 5 divise a et a+5 donc 5 divise M ....

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rvz

[invite6b1e2c2e]

Du coup, j'ai l'impression que l'énoncé est faux.
En effet, si M est premier à 5, alors le pgcd de a et a+5 est égal à 1, donc M = a(a+5).
De même pour b, donc a (a+5) = b(b+5), et du coup, ça m'étonnerait fort qu'ils soient premiers entre eux !

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rvz, qui craque peut-être

[A voir en vidéo sur Futura]

[chr57]

salut,

soit d=PGCD(a(a;a+5);b(b+5))

alors, il existe a' et b', premiers entre eux tels que:
d.a'=a(a+5)
d.b'=b(b+5)

d.a' et d.b' sont premiers entre eux lorsque a' et b' sont premiers entre eux donc lorsque ...

PS:

Autre remarque : Le pgcd d de a et a+5 divise 5, donc c'est soit 1, soit 5. Si c'est 5, alors 5 divise a et a+5 donc 5 divise M

rvz, c'est le PGCD de a(a+5) et b(b+5) qu'on cherche et non celui de a et (a+5).

[invite636fa06b]

salut,
rvz, c'est le PGCD de a(a+5) et b(b+5) qu'on cherche et non celui de a et (a+5).

Bonsoir,
N'empêche que si a et a+5 sont premiers entre eux ainsi que b et b+5, a(a+5) et b(b+5) ne le sont pas.
On doit pouvoir même montrer que les produits ne peuvent pas être premiers entre eux sans aucune condition sur M

[chr57]

ok, je me suis pas servi de ça:

PPCM(a;a+5)=PPCM(b;b+5). on appelle M la valeur des deux PPCM
il faut demontrer que si M est premier avec 5 alors a(a+5) et b(b+5) sont premier entre eux

comment on y arrive alors ?

ce que j'ai montré avant est faux/non rigoureux alors ?

[invite636fa06b]

salut,

soit d=PGCD(a(a;a+5);b(b+5))

alors, il existe a' et b', premiers entre eux tels que:
d.a'=a(a+5)
d.b'=b(b+5)

d.a' et d.b' sont premiers entre eux lorsque a' et b' sont premiers entre eux non lorsque d=1

comment on y arrive alors ?

L'énoncé est faux
Comme l'a fait rvz :d= pgcd(a;a+5)=pgcd(a;5) =1 ou 5 et même chose pour d' avec b.
a(a+5)=M d b(b+5)=M d'.
Si d=d' les deux produits sont égaux.
Si d=1 et d'=5 (ou l'inverse) on arrive à contradiction

[chr57]

ok, merci, j'ai compris,
je manque encore un peu d'expérience sans doute.