Bonsoir.
J'ai des problèmes sur un exo sur les suites (je n'ai réussi que les 3 premières questions) dont voici l'énoncé :
On considère la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=2xexp(x).
1)Montrer que f réalise une bijection de [0;1] sur un ensemble que l'on déterminera.On note f-1 la bijection réciproque de f. Donner les tableaux des variations de f et de f-1 la bijection réciproque de f. Donner les tableaux des variations de f et de f-1.
2)Vérifier qu'il existe dans [0,1] un et un seul réel noté alpha tel que alphaexp(alpha)=1.
Montrer que alpha différent de 0.
On définit la suite (un)n€N par :
u0= alpha
Pour tout n€N, un+1=f-1(un)
3) Montrer que pour tout entier naturel n, un existe et un € ]0,1].
4) (a) Montrer que pour tout réel x de [0,1], f(x)-x>=0.
Vérifier que l'égalité ne se produit que pour x=0.
(b) En déduire que la suite (un) est strictement décroissante.
(c) Montrer que la suite un) est convergente et qu'elle a pour limite 0.
Merci de bien vouloir m'aider.
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