Entier infini ?

invite4b1905cf · 30/11/2006, 19h58

Lors d'une session privée en messagerie de l'instant, P.G m'a affirmé :

"La notion fondamentale dans la définition des entiers est la notion de successeur"

Imaginons un entier infini... Quel pourrait être sont successeur ?

Si nous notons cet entier à base de symboles (chiffres) de gauche à droite, le nombre de symboles requis serait infini, comment pourrait on incrémenter l'ultime symbole alors que précisément qu'un tel agencement n'aurait pas de terminaison ?

Existe t il un ou des nombres entiers infinis ?

La notion de successeur est elle fondamentale pour caractériser les entiers ?

**Gwyddon** · 30/11/2006, 20h48

Un entier infini n'a pas de sens, un élément de IN est par essence "fini".

Par contre, on peut envisager de faire joujou avec des nombres que l'on appelle "transfinis" (ce ne sont pas des entiers, ils n'appartiennent pas à IN !), et par exemple définir le nombre cardinal de IN, le nombre ordinal, etc... Ces nombres n'obéissent bien évidemment pas à la même arithmétique que les entiers, par exemple $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est le cardinal de IN (une fois défini l'addition sur les nombres cardinaux, ce qui se peut en regardant sur les opérations d'union, d'intersection etc.. d'ensemble)

**bardamu** · 30/11/2006, 22h27

Envoyé par Rhizomatique

(...)
La notion de successeur est elle fondamentale pour caractériser les entiers ?

Salut,
d'après Poincaré, c'est sans doute assez fondamental par le biais de la démonstration par récurrence :cf La science et l'hypothèse

Extrait :

(...)
Ce procédé est la démonstration par récurrence. On établit d'abord un théorème pour $n = 1$ ; on montre ensuite que s'il est vrai de $n - 1$, il est vrai de $n$ et on en conclut qu'il est vrai pour tous les nombres entiers.

On vient de voir comment on peut s'en servir pour démontrer les règles de l'addition et de la multiplication, c'est-à-dire les règles du calcul algébrique ; ce calcul est un instrument de transformation qui se prête à beaucoup plus de combinaisons diverses que le simple syllogisme ; mais c'est encore un instrument purement analytique et incapable de rien nous apprendre de nouveau. Si les mathématiques n'en avaient pas d'autre elles seraient donc tout de suite arrêtées dans leur développement ; mais elles ont de nouveau recours au même procédé, c'est-à-dire au raisonnement par récurrence et elles peuvent continuer leur marche en avant.

A chaque pas, si on y regarde bien, on retrouve ce mode de raisonnement, soit sous la forme simple que nous venons de lui donner, soit sous une forme plus ou moins modifiée.

C'est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence et il nous faut l'examiner de plus près.

Voir aussi le débat de cette époque sur infini potentiel et infini actuel, pour l'usage pertinent de l'infini.

**Médiat** · 01/12/2006, 04h35

Envoyé par bardamu

Salut,
d'après Poincaré, c'est sans doute assez fondamental par le biais de la démonstration par récurrence

C'est aussi fondamental pour la définition axiomatique des entiers de Peano (qui inclut le principe de récurrence) qui est basée sur la notion de successeur.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

01/12/2006, 06h43

Les cardinaux infinis n'ont pas de successeur, puisqu'ils ne dépendent d'aucune relation d'ordre
En revanche, les ordinaux transfinis admettent un successeur et (omega + 1) est différent de (1+ omega)

Le débat entre finististes et partisans de l'infini actuel devrait être clos: refuser ce dernier nous caomdamne à considérer les irrationnels comme de faux nombres... ce qu'avait fini par dire Kronecker

**Médiat** · 01/12/2006, 07h16

Envoyé par quantat

Les cardinaux infinis n'ont pas de successeur, puisqu'ils ne dépendent d'aucune relation d'ordre

Il me semble au contraire que Aleph0 < Aleph1, et plus généralement que les cardinaux "héritent" de la relation d'ordre sur les ordinaux (un cardinal peut être considéré comme la classe d'idempotence d'un ordinal).

**Gwyddon** · 01/12/2006, 07h24

Envoyé par Médiat

Il me semble au contraire que Aleph0 < Aleph1, et plus généralement que les cardinaux "héritent" de la relation d'ordre sur les ordinaux (un cardinal peut être considéré comme la classe d'idempotence d'un ordinal).

Certes, mais en aucun cas $\text{[math]}$ . Comme je l'ai rappelé plus tôt $\text{[math]}$ et plus généralement $\text{[math]}$ pour tout entier n. La notion de successeur sur les nombres transfinis n'existe donc plus.

**Médiat** · 01/12/2006, 07h56

Envoyé par Gwyddon

Certes, mais en aucun cas $\text{[math]}$ . Comme je l'ai rappelé plus tôt $\text{[math]}$ et plus généralement $\text{[math]}$ pour tout entier n. La notion de successeur sur les nombres transfinis n'existe donc plus.

Certes, mais en aucun cas je n'ai dit que $\text{[math]}$ .
D'autre part, la notion de cardinal successeur existe parfaitement, et tous les cardinaux ont un successeur (noté avec un + en exposant).

invite4b1905cf · 01/12/2006, 08h27

Envoyé par Gwyddon

Un entier infini n'a pas de sens, un élément de IN est par essence "fini".

Merci pour vos réponses stimulantes, qui entrainent mes déambulations naïves :

a) imaginons un programme incrémental (e=e+1, avec e == 0 au départ ) itéré un nombre infini de fois : e ne serait il pas toujours un entier ?

b) quel est le plus grand nombre fini possible ?

c) si je le note avec des succession de symboles combien de symbole comporterait le plus grand nombre fini possible ... ?

A vos lumières encore tous les merci(s) possibles

01/12/2006, 12h29

Envoyé par Médiat

Il me semble au contraire que Aleph0 < Aleph1, et plus généralement que les cardinaux "héritent" de la relation d'ordre sur les ordinaux (un cardinal peut être considéré comme la classe d'idempotence d'un ordinal).

Bonjour Mediat

effectivement aleph 0 est plus petit que aleph 1: ça ne veut pas dire que aleph 0 + 1 = aleph 1... aleph 0+ 1 = aleph 0...
La définition cantorienne dit que les nombres cardinaux renvoient au nombre d'éléments d'un ensemble indépendamment de leur ordre...

Pour être précis, s'agissant des ordinaux: 1+ oméga =oméga.... et oméga+1 = oméga+1
Dans le premier cas, l'ordinal de l'ensemble n'a pas de prédécesseur immédiat, il en a un dans le second...: ce n'est pas le même type d'ordre... en revanche, les deux ensembles ont le même cardinal qui est aleph 0

la relation arithmétique entre aleph 0 et aleph 1 est indémontrable: cf Cohen en 1966... Cantor supposait que aleph 1 = 2 puissance aleph zéro

01/12/2006, 12h32

Envoyé par Rhizomatique

Merci pour vos réponses stimulantes, qui entrainent mes déambulations naïves :

a) imaginons un programme incrémental (e=e+1, avec e == 0 au départ ) itéré un nombre infini de fois : e ne serait il pas toujours un entier ?

b) quel est le plus grand nombre fini possible ?

c) si je le note avec des succession de symboles combien de symbole comporterait le plus grand nombre fini possible ... ?

A vos lumières encore tous les merci(s) possibles

Bonjour
a) tu ne peux atteindre l'infini d'oméga sans le deuxième principe d'engendrement des nombres ordinaux (qui autorise à considérer la succession des entiers comme achevée et à poser un nombre, oméga, plus grand que tout entier): il n'y a pas d'entier infini
b) il n'y en a pas : quelque soit x, entier naturel, il existe x+1

**Médiat** · 01/12/2006, 13h40

Envoyé par quantat

effectivement aleph 0 est plus petit que aleph 1: ça ne veut pas dire que aleph 0 + 1 = aleph 1... aleph 0+ 1 = aleph 0...

Mais je n'ai jamais écrit cela !

Envoyé par quantat

La définition cantorienne dit que les nombres cardinaux renvoient au nombre d'éléments d'un ensemble indépendamment de leur ordre...

C'est à dire indépendament de la structure interne des ordinaux, néanmoins je répète et je maintiens : les cardinaux sont ordonnés, et chacun d'entre eux possède un successeur !

Envoyé par quantat

Cantor supposait que aleph 1 = 2 puissance aleph zéro

C'est ce qui s'appelle l'hypothèse du continu (dans sa version la plus simple), dont il a été démontré qu'elle est indécidable par rapport aux axiomes ZF.

01/12/2006, 14h33

Envoyé par Médiat

!

C'est à dire indépendament de la structure interne des ordinaux, néanmoins je répète et je maintiens : les cardinaux sont ordonnés, et chacun d'entre eux possède un successeur !

.

Tous les ordinaux de la catégorie II désignent des types d'ordre différents... Or ils ont tous le même ordinal !!

Si tu poses que la relation d'ordre intervient dans la définition des cardinaux, tu anéantis purement et simplement la différence entre ordinal et cardinal (qui ne vaut que pour les transfinis et non pour les nombres finis)
et tu ne peux plus justifier l'assertion ci dessus
cordialement

01/12/2006, 14h36

ou alors... peut être as tu voulu dire que les aleph sont ordonnés par les ordinaux ? c'est à dire aleph 0 aleph 1, aleph 2 etc...
Dans ce cas d'accord...
c'est d'ailleurs en considérant ce fait que Cantor montre que le paradoxe du cardinal de tous les cardinaux est en fait un avatar du paradoxe de Burali-forti

**Médiat** · 01/12/2006, 16h33

Depuis le début je n'ai fait que réagir à la phrase :

Envoyé par quantat

Les cardinaux infinis n'ont pas de successeur, puisqu'ils ne dépendent d'aucune relation d'ordre
En revanche, les ordinaux transfinis admettent un successeur et (omega + 1) est différent de (1+ omega)

Puisque les cardinaux ont tous un successeur.

On peut considérer que les cardinaux sont les classes d'équipotence des ordinaux, mais on peut aussi considérer qu'un cardinal est un ordinal qui n'est équipotent à aucun autre ordinal strictement plus petit (une autre façon de le dire est de choisir, dans chaque classe d'équipotence, l'ordinal le plus petit), l'ordre sur les cardinaux n'est donc que l'ordre des ordinaux restreint à cette nouvelle classe (qui ne possède pas toutes les propriétés des ordinaux bien sur). Quand au successeur, d'un cardinal c'est le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dedans.

On voit dans ces définitions que la notion de "plus petit" est fondamentale ce qui tombe bien puisque les ordinaux sont des bons ordres c'est à dire que toute partie non vide a un plus petit élément, et quen plus ils sont transitifs...

Et pour que tout soit clair, je n'ai jamais écrit que $\text{[math]}$ , ni contesté que $\text{[math]}$ ! par contre je peux ajouter : $\text{[math]}$

**Médiat** · 01/12/2006, 19h16

Ah copié-collé de malheur :

Envoyé par Médiat

Et pour que tout soit clair, je n'ai jamais écrit que $\text{[math]}$

je voulais écrire : Et pour que tout soit clair, je n'ai jamais écrit que $\text{[math]}$

**Gwyddon** · 02/12/2006, 16h40

Disons que "successeur" = "successeur immédiat" dans le langage normal (et en maths aussi d'ailleurs) donc ta phrase était plus qu'ambigüe...

**Médiat** · 02/12/2006, 17h24

Envoyé par Gwyddon

Disons que "successeur" = "successeur immédiat" dans le langage normal (et en maths aussi d'ailleurs) donc ta phrase était plus qu'ambigüe...

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire, $\text{[math]}$ est le successeur immédiat de $\text{[math]}$ ! et d'une façon générale, si $\text{[math]}$ est un cardinal, $\text{[math]}$ est son successeur immédiat (égal à $\text{[math]}$ dans le cas des cardinaux finis), je ne vois pas ce que cela a d'ambigu (c'est un théorème (et théorème ambigu, cela sonne un peu comme un oxymore, non ?) parfaitement démontrable et même assez facilement quand on connait bien les ordinaux). De la même façon 2 est le successeur de 1 dans les entiers, même si 1,5 existe.

**Gwyddon** · 02/12/2006, 17h32

En fait pour moi successeur c'était $\text{[math]}$ s'il existait, mais ton message m'a éclairci les idées, donc je n'ai plus de souci sur ta formulation

invité576543 · 02/12/2006, 18h24

Envoyé par Gwyddon

En fait pour moi successeur c'était $\text{[math]}$ s'il existait, mais ton message m'a éclairci les idées, donc je n'ai plus de souci sur ta formulation

Bonsoir,

ce n'est pas exactement cela, il me semble. Le cardinal $\text{[math]}$ existe, mais il est égal à $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est un cardinal, $\text{[math]}$ le cardinal de l'union d'un ensemble de cardinal $\text{[math]}$ et d'un singleton, est le successeur de $\text{[math]}$ dans l'ordre des cardinaux si $\text{[math]}$ est différent de $\text{[math]}$ .

Cordialement,

**Gwyddon** · 02/12/2006, 18h37

Envoyé par mmy

Bonsoir,

ce n'est pas exactement cela, il me semble. Le cardinal $\text{[math]}$ existe, mais il est égal à $\text{[math]}$ .

Je suis d'accord bien sûr, mais le fait que les deux nombres sont égaux faisait perdre à mon regard la notion de successeur. Mais finalement tu peux définir une relation d'équivalence sur les ensembles tels que deux ensembles sont en relation ssi ils ont même cardinal. Alors avec ça, tu peux définir le successeur d'un nombre transfinis comme ceci aussi :

$\text{[math]}$ successeur de $\text{[math]}$ ssi en prenant deux ensembles représentatifs des classes en présence (respectivement E et F) on a $\text{[math]}$

**Médiat** · 03/12/2006, 10h52

Envoyé par mmy

Si $\text{[math]}$ est un cardinal, $\text{[math]}$ le cardinal de l'union d'un ensemble de cardinal $\text{[math]}$ et d'un singleton, est le successeur de $\text{[math]}$ dans l'ordre des cardinaux si $\text{[math]}$ est différent de $\text{[math]}$

Ce qui n'arrive que si $\text{[math]}$ est fini.

Envoyé par Gwyddon

Alors avec ça, tu peux définir le successeur d'un nombre transfinis comme ceci aussi :

$\text{[math]}$ successeur de $\text{[math]}$ ssi en prenant deux ensembles représentatifs des classes en présence (respectivement E et F) on a $\text{[math]}$

Ne serait-ce pas là l'hypothèse généralisée du continu ?

**bardamu** · 03/12/2006, 16h40

Là, je crois qu'on est bien en math, je téléporte dans le forum adéquat.

invite4b1905cf · 03/12/2006, 16h58

Bonsoir,

Je n avais pas noté dans votre première réponse Bardamu, la mention faite aux deux infinis : l'infini potentiel (celui porté par l'idée de successeur) et l'infini actualisable.

Est-il absurde de parler d'infini potentiel des entiers ?

Cette expression comporterait-elle en germe le programme incrémental sans le fixer?

Cher Quantat, le débat finiste et partisan de l'infini actuel est il réellement clos ?

Je m en remets à vos foudres claires.

**Gwyddon** · 03/12/2006, 17h13

Envoyé par Médiat

Ne serait-ce pas là l'hypothèse généralisée du continu ?

Il me semble que oui.

04/12/2006, 08h02

Envoyé par Médiat

Je ne comprends pas bien ce que tu veux dire, $\text{[math]}$ est le successeur immédiat de $\text{[math]}$ ! et d'une façon générale, si $\text{[math]}$ est un cardinal, $\text{[math]}$ est son successeur immédiat (égal à $\text{[math]}$ dans le cas des cardinaux finis), je ne vois pas ce que cela a d'ambigu (c'est un théorème (et théorème ambigu, cela sonne un peu comme un oxymore, non ?) parfaitement démontrable et même assez facilement quand on connait bien les ordinaux). De la même façon 2 est le successeur de 1 dans les entiers, même si 1,5 existe.

Je ne crois pas qu'on puisse dire que aleph 1 est le successeur immédiat de aleph 0 puisque , précisément, Cantor s'interrogeait sur la possibilité qu'il existe un infini intermédiaire entre eux deux... n'est-ce pas celà la conjecture du continu ? ... et si la question se révèle indécidable (Cohen 1966)..; comment maintenir l'affirmation ?

Par ailleurs dire que 1.5 se place entre 1 et 2, et indiquer que celà n'empêche pas que 2 soit le successeur de 1 me semble procéder d'une faute logique: dans un cas on travaille sur les entiers naturels, dans l'autre ce n'est plus le même ensemble (il s'agit des rationnels!)
Enfin , n'a t'il pas été rappelé ci dessus que les propriétés des nombres finis ne peuvent pas être exportés aux nombres infinis ?

**Médiat** · 04/12/2006, 08h43

Envoyé par quantat

Je ne crois pas qu'on puisse dire que aleph 1 est le successeur immédiat de aleph 0 puisque , précisément, Cantor s'interrogeait sur la possibilité qu'il existe un infini intermédiaire entre eux deux... n'est-ce pas celà la conjecture du continu ? ... et si la question se révèle indécidable (Cohen 1966)..; comment maintenir l'affirmation ?

1) Il ne s’agit pas d’une « conjecture du continu » puisque l’indécidablité de cette hypothèse dans ZF a été démontrée
2) Elle s’exprime par $\text{[math]}$ ; que $\text{[math]}$ soit le successeur de $\text{[math]}$ est la définition de la classe des aleph, et non une conjecture ou une hypothèse.

Envoyé par quantat

Par ailleurs dire que 1.5 se place entre 1 et 2, et indiquer que celà n'empêche pas que 2 soit le successeur de 1 me semble procéder d'une faute logique: dans un cas on travaille sur les entiers naturels, dans l'autre ce n'est plus le même ensemble (il s'agit des rationnels!)

Ce n’est pas une faute logique, c’est une analogie avec l’affirmation que $\text{[math]}$ n’est pas le successeur de $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ (puisqu’il y a là, une confusion des classes (les ordinaux et les cardinaux)) ; tu admets donc que cette affirmation est une faute de logique, nous sommes donc d’accord sur ce point.

Envoyé par quantat

Enfin , n'a t'il pas été rappelé ci dessus que les propriétés des nombres finis ne peuvent pas être exportés aux nombres infinis ?

Et ? Ai-je affirmé cela ? J’ai juste dit et je répète : tous les cardinaux, mêmes infinis ont un successeur !

invité576543 · 04/12/2006, 09h49

Envoyé par Médiat

1) Il ne s’agit pas d’une « conjecture du continu » puisque l’indécidablité de cette hypothèse dans ZF a été démontrée
2) Elle s’exprime par $\text{[math]}$ ; que $\text{[math]}$ soit le successeur de $\text{[math]}$ est la définition de la classe des aleph, et non une conjecture ou une hypothèse. (...)

tous les cardinaux, mêmes infinis ont un successeur !

Bonjour,

Ce que je trouve génant dans cette histoire, c'est que l'on puisse parler DU successeur de $\text{[math]}$ . Si je comprend bien l'hypothèse du continu, ce successeur n'est pas unique, de par l'indécidabilité de l'existence d'un cardinal entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Du coup, je trouve troublant de parler DU successeur d'un cardinal infini, alors que ce successeur est conditionnel à une (ou même une infinité?) d'hypothèses indécidables.

Le fait de mettre une étiquette au successeur de $\text{[math]}$ n'implique pas qu'il s'agisse d'une chose uniquement déterminée, qui aille de soi, non? La remarque de Quantat me semble valable: la notion de successeur de $\text{[math]}$ dépend d'hypothèses particulières, et n'a de sens que relativement à ces hypothèses.

Cordialement,

**Médiat** · 04/12/2006, 10h20

Envoyé par mmy

Ce que je trouve génant dans cette histoire, c'est que l'on puisse parler DU successeur de $\text{[math]}$ . Si je comprend bien l'hypothèse du continu, ce successeur n'est pas unique, de par l'indécidabilité de l'existence d'un cardinal entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Du coup, je trouve troublant de parler DU successeur d'un cardinal infini, alors que ce successeur est conditionnel à une (ou même une infinité?) d'hypothèses indécidables.

Il n'y a qu'un seul successeur à $\text{[math]}$ , c'est $\text{[math]}$ ! L'hypothèse du continu consiste à affirmer que celui-ci est égal à $\text{[math]}$ .

Envoyé par mmy

Le fait de mettre une étiquette au successeur de $\text{[math]}$ n'implique pas qu'il s'agisse d'une chose uniquement déterminée, qui aille de soi, non? La remarque de Quantat me semble valable: la notion de successeur de $\text{[math]}$ dépend d'hypothèses particulières, et n'a de sens que relativement à ces hypothèses.

Ce n'est pas parce que l'on a mis une étiquette, mais parce que l'on a donné une définition : Le successeur d'un cardinal est la classe d'équipotence du plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dedans.

Toutes ces notions sont des notions de base et se trouvent dans tous les bouquins traitant des ordinaux et des cardinaux.
Cordialement.

invité576543 · 04/12/2006, 11h05

Envoyé par Médiat

Ce n'est pas parce que l'on a mis une étiquette, mais parce que l'on a donné une définition : Le successeur d'un cardinal est la classe d'équipotence du plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dedans.

Si je comprend bien ce que tu cherches à exprimer, la définition qui serait:

Le successeur d'un cardinal κ est le cardinal κ⁺ si, pour tous triplet d'ensembles E1 inclus dans E2 inclus dans E3, E1 de cardinal κ, E3 de cardinal κ⁺, alors le cardinal de E2 est soit κ, soit κ⁺

n'est pas équivalente à la tienne?

C'est avec la définition ci-dessus que je (croyais) comprendre l'hypothèse du continu, pas à partir des ordinaux.

Cordialement,

Entier infini ?

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