Démonstration

**neutrino éléctronique** · 06/12/2006, 13h03

Salut à tous,
j'aimerais savoir comment on peut démontrer que e^(i*pi)+1=0
Merci d'avance

**GuYem** · 06/12/2006, 13h08

Ca dépend beaucoup de la définition que tu prends pour e et pour pi ...

**Gwyddon** · 06/12/2006, 13h10

On peut par exemple faire une démo bien moche à partir de la définition de l'exponentielle complexe, du logarithme complexe écrit en série entière et mixer le tout... Mais c'est vraiment lourd à lire (je l'avais écrite il y a deux ans pour répondre à des questions sur le log complexe sur le forum, vous pouvez trouver cette démo sur mon site

)

**neutrino éléctronique** · 06/12/2006, 14h57

Désolé le logarithme complexe c'est pas encore mon truc

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2fd735b7 · 06/12/2006, 17h51

e^i.pi peut s'écrire cos (pi) + i.sin (pi)

or nous savons tous que cos (pi) = -1 et sin (pi) = 0
ainsi e^i.pi = -1
donc e^i.pi+1 = 0

Voilà.

**neutrino éléctronique** · 06/12/2006, 17h58

Ah ok merci beaucoup

**Gwyddon** · 06/12/2006, 18h02

Mais en fait ce n'est pas vraiment une démo

Enfin, disons qu'elle n'est pas rigoureuse, car elle ne dit pas d'où vient la notation exponentielle.

EDIT : en plus, comment vous prouvez que cos(pi)=-1 et sin(pi)=0 ?

invite2fd735b7 · 06/12/2006, 18h04

ben au niveau lycée, dans un cercle trigo^^

**Gwyddon** · 06/12/2006, 18h05

Ce n'est pas une démo ça

**edpiste** · 06/12/2006, 18h16

Envoyé par Therion

e^i.pi peut s'écrire cos (pi) + i.sin (pi)

C'est vrai mais c'est pas si simple à démontrer, sauf à prendre pour définition de l'exponentielle ce que tu viens d'affirmer (mais dans ce cas-là il faudrait redémontrer d'autres propriétés moins évidentes...)

invite1ff1de77 · 06/12/2006, 19h10

salut,
c'est vraiment énervant
la notation exponentielle pour les nombres complexes est un truc génial parce que ca aide beaucoup...
mais on ne comprend pas d'ou ca vient?

invite2fd735b7 · 06/12/2006, 19h17

en TS c'est une simple notation, on a vu aucune démonstration.

**martini_bird** · 06/12/2006, 19h25

Salut,

on peut bidouiller une démo en prenant pour définition de l'exponentielle le fait que c'est la seule fonction continue sur R invariante par dérivation et telle que exp(1)=e. On peut facilement démontrer que son développement en série entière $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .

D'autre part, on peut utiliser les formules de Taylor afin de prouver que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Par unicité de la décomposition en série entière, on obtient bien $\text{[math]}$ .

Cordialement.

**Gwyddon** · 06/12/2006, 19h33

Niveau TS quoi

Mais il reste ensuite à démontrer que $\text{[math]}$ pour montrer que $\text{[math]}$

**martini_bird** · 06/12/2006, 19h36

Envoyé par Gwyddon

Niveau TS quoi

Oui c'est sûr que c'est pas niveau TS... A noter toutefois que cette manière de faire est à peu de choses près la démarche qu'a suivi Euler.

Envoyé par Gwyddon

Mais il reste ensuite à démontrer que $\text{[math]}$

Et il faudrait démontrer que l'addition est commutative et que 1+1=2 aussi ?

Cordialement.

**Gwyddon** · 06/12/2006, 19h39

Non mais je suis sérieux là

Comment démontrer proprement en fait que l'on a bien les relations énoncées sur cos et sin ?

**martini_bird** · 06/12/2006, 19h42

En les lisant sur le cercle trigonométrique, par exemple ?

Je vois pas bien où se situe ta question...

**Gwyddon** · 06/12/2006, 19h43

Envoyé par martini_bird

En les lisant sur le cercle trigonométrique, par exemple ?

Je vois pas bien où se situe ta question...

En fait, est-ce bien une démo que de le lire sur le cercle trigo ?

EDIT : oubliez ce que j'ai dit, c'est n'importe quoi et je suis fatigué...

invite4ef352d8 · 06/12/2006, 20h14

Envoyé par Gwyddon

Non mais je suis sérieux là

Comment démontrer proprement en fait que l'on a bien les relations énoncées sur cos et sin ?

bonne question : au programe de sup et de spé, sin et cos sont definit comme etant la parti reel et la parti imaginaire de exp(ix).... donc la demonstration n'est pas tres difficle

sinon cela peut ce voir avec les series entière si on prend une autre definition.

**ericcc** · 07/12/2006, 13h05

Une idée : identifier les complexes aux matrices, et passer à l'exponentielle des matrices ?

invite7863222222222 · 07/12/2006, 14h24

Le cos et le sin ne sont pas respectivement la projection sur les axes x, y d'un point du cercle unité ?

**martini_bird** · 07/12/2006, 18h54

Envoyé par jreeman

Le cos et le sin ne sont pas respectivement la projection sur les axes x, y d'un point du cercle unité ?

Salut,

oui, c'est une définition possible et c'est une "bonne" définition. Mais la "meilleure" (au sens de la plus effective en maths) est de considérer les parties réelles et imaginaires de l'exponentielle complexe (cf. le préambule du Rudin dont on a déjà discuté ici).

Cordialement.

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