fonction gamma

charly · 07/12/2006 - 21h34

Bonjours a tous ,
j'aimerais connaitre la valeur de la fonction gamma ( euler) en 1/2 , les démonstrations que j'ai trouvé utilise toutes la relation G(s)*G(1-s) = Pi/sin(Pi*s) que je n'arrive pas a démontrer

la fonction gamma est G(x) = int(t^(x-1)*exp(-t)dt)

merci

tize · 07/12/2006 - 22h36

$G(1/2)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt$ avec $t=x^2$ ,
$G(1/2)=2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$ .
La dernière intégrale étant une intégrale de Gauss que l'on peut calculer comme ici

bretus · 07/12/2006 - 22h44

Salut!
J'arrive pas à répondre à ta question de manière plus précise mais je me suis demander comment je ferais pour démontrer cette formule d'euler que tu évoques, j'ai pas le courage à cette heure ci de m'y mettre mais envisage les points suivants :
- On sait calculer les valeurs de la fonction gamma lorsqu'on l'applique à un entier, hors si s est entier 1-s est lui aussi entier.
- Prendre quand meme en compte le fait que gamma est définie sur ]0,+infini[ et pas ailleur (probleme de convergence de l'intégrale en 0) donc, il faut se méfier de ce 1-s
- Néanmois, on devrait pouvoir montrer que la l'égalité
G(n)*G(1-s)-Pi/sin(Pi*n) est vrai pour un nombre infini d'entier n
- Ca fait penser à des résultat sur les polynomes, la fonction gamma est continue sur R+*
=> en utilisant l'approximation des fonctions continues par des polynomes sur des segments inclu dans ]0,+infini[ (théorème de Weirstrass) on arrive vraissemblablement à montrer que G(s)*G(1-s)-Pi/sin(Pi*s) est nulle sur tout segment inclu dans R+*

Bon courage, jpense que ca marche, j'en suis meme pas sur et techniquement, c'est l'artillerie lourde

++

bretus · 07/12/2006 - 22h45

Humph!
En fait tize ta donné une réponse bien plus efficasse, tu peux oublier tout ca

++

charly · 08/12/2006 - 12h13

merci c'est exactement l'intégrale de gauss que je voulais ... merci a tous les deux !!

Ksilver · 08/12/2006 - 17h04

Salut !

j'ai trouvé ceci sur internet :
http://abdellah.bechata.free.fr/tele.../pdf/gamma.pdf

dedans il y a une preuve de la formule dont tu parle.

mais la demonstration est assez longue, ce n'est absoluement pas le moyen le plus simple de calculer la valeur de Gamma(1/2) ! (personellement je sort d'un DS ou on vien de passer 3h a montré cette formule

)

Gamma(1/2) c'est (a un facteur deux pres) l'integral de gauss, et il y a au moins 25 methodes differente pour la calculer, cherche integral de gauss sur internet, je suis sur que tu trouvera des choses.