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formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

  1. doogy3

    Date d'inscription
    septembre 2006
    Messages
    35

    formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

    Bonjour,

    J'ai une question a propos du calcul d'intégrales multiples a l'aide de la formule de changement de variable dans R^n. En fait, je dois intégrer sur le domaine D={(x,y) de R^2 tels que x>0, y>0, 1/2<x+y<1} la fonction exp[(x-y)/(x+y)]. On me precise que je dois faire le changement de variables (u,v)=(x+y,x-y).

    Mon probleme est que je n'arrive pas a trouver le domaine V tel f: D--->V soit un C1-difféomorphisme?
    Je pense que u=x+y sera dans ]1/2,1[ mais par contre pour v je n'arrive pas a utiliser les inéquations de D pour trouver ou sera v=x-y.
    En fait, je sais pas s'il y a une methode pour trouver ce genre de choses mais mon probleme est que je n'arrive pas dans ce genre d'exos a voir quel sera le domaine V.

    Si quelqu'un a la solution, ce serait sympa de me la faire parvenir.
    Merci d'avance


     


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  2. homotopie

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Lille
    Âge
    44
    Messages
    2 523

    Re : formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

    Bonjour,
    il suffit d'exprimer x, y et x+y (les trois expressions définissant D) en fonction de u et de v. x+y c'est trivial ; x et y ce n'est pas dur, la transformation est linéaire. x=(u+v)/2 donc u+v>0. je te laisse la dernière.
     

  3. El Matador

    Date d'inscription
    novembre 2006
    Localisation
    versailles
    Âge
    25
    Messages
    111

    Re : formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

    Salut.Ton domaine initial est D={(x,y);x>0,y>0,1/2<x+y<1} Grace au changement de variable u=x+y et v=x-y tu auras les inegalités 1/2<u<1 et (2v+1)/4<(u+v)/2<(v+1)/2 (en ajoutant v aux inegalités 1/2<u<1 et en divisant par 2).
    or (u+v)/2>0 donc (v+1)/2>0 soit v>-1 de meme (u+v)/2<1 donc (2v+1)/4<1 soit v<3/2 d'ou -1<v<3/2 et 1/2<u<1.Tu as ainsi ton nouveau domaine V et a partir de la tu peux calculer ton integrale
     

  4. Taar

    Date d'inscription
    décembre 2006
    Messages
    332

    Re : formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

    Salut tous !

    manu tabeko :

    Le couple (u=0,9 ; v=1,1) est dans ton domaine V (il vérifie toutes les inégalités que tu as écrites).

    Pourtant j'ai obtenu ça en prenant (x=1 ; y= -0,1) qui n'est pas dans D.

    Il y a dû y avoir un glitch dans les manips que tu as faites (équivalence non préservée ?).

    De toute façon, si je ne me suis pas trompé, le domaine V est un trapèze, et pas un pavé.
     

  5. doogy3

    Date d'inscription
    septembre 2006
    Messages
    35

    Re : formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

    Salut!

    Taar:
    tu penses que manu tabeko s'est trompé quand de l'inéquation 1/2<u<1 il en deduit (2v+1)/4<(u+v)/2<(v+1)/2? C'est vrai qu'on ne sait s'il y a equivalence puisqu'on ne connait pas le signe de v a priori!
    Et de toute facon en faisant le calcul, je suis ramene a calculer l'intégrale sur ]1/2,1[*]-1,3/2[ de la fonction (1/2)*exp(v/u) et en utilisant tonelli avec plusieurs intégrations par parties, je m'en sors toujours pas!
    Tu dis que tu otiens un trapeze pour V mais je vois pas comment tu fais?

    Merci a tous pour vos reponses.
     


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  6. Taar

    Date d'inscription
    décembre 2006
    Messages
    332

    Re : formule de changement de variables/intégrale de Lebesgue

    Salut.

    Je pense que les calculs de manu tabeko sont justes, mais il raisonne par implication. Si (x,y) est dans D, alors (u,v) est bien dans ]1/2,1[ x ]-1,3/2[, mais ce n'est pas pour autant que V = ]1/2,1[ x ]-1,3/2[ .

    Pour trouver le bon V j'utilise la méthode indiquée par homotopie, qui consiste à exprimer x en fonction de u et v, y en fonction de u et v, et à remplacer dans les inéquations définissant D. Avec le V obtenu on commence par intégrer en v puis on intègre le résultat en u. Cette dernière intégration se fait sans difficulté car il n'y a plus de u au dénominateur dans l'exponentielle.
     


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