Démonstration Cayley-Hamilton

[Gpadide]

Bonjour, je ne comprends pas du tout la démonstration (etonemment breve ) qui est donnée sur wikipedia:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...ayley-Hamilton

[Ksilver]

Salut !

Je pense avoir compris.


enfait on commence par dire que Com(xI-A) transposé est un polynome en x a coeficient matricielle qu'on note Q(x).


puis comme q(x)* (xI-A)=P(x)*I

on à l'égualité de deux polynome en x à coeficient matricielle. et comme les deux polynome sont egaux, on peut ecrire l'égalité des polynome appliqué à la matrice A et on obtiens :
q(A)*(A-A) =P(A)*I = 0 !

d'ou P(A)=0

[GuYem]

Je pense que c'est bon.

Dans toute bonne démonstration de Cayley-Hamilton, on se doit d'utiliser une identité qui casse la tête et qui est :
, ce qui est fait ici.

Par contre il ne faut pas dire : P(X) = det(XI-A), je remplace X par A, ca fait det(A-A), ça fait 0. Si on fait ça, on introduit, lors de la substitution de X par A, une matrice dans une matrice, et ça pue.

En espérant ne pas dire de bétises ...

[Gpadide]

Si je comprends bien tu utilises le fait que un polynome matriciel est nul si et seulement si toutes les matrices sont nulles ?

[Ksilver]

Non.


tu utilise que P(x) peut s'ecrire Q(x)*(xI-A) ou Q est un polynome à coeficient matricielle !

du coup P(A) = Q(A) (A-A)= 0


(et aussi le fait que si deux polynome matricielle sont egaux pour x réel alors tous leur coeficient sont egaux... donc en fait oui tu as raison )

[Gpadide]

on se doit d'utiliser une identité qui casse la tête et qui est :
, ce qui est fait ici.

Pour dire ca il suffit de dire que si un polynome matriciel est nul alors les polynomes formés par ses coefficients sont tous non nuls donc tous les coefficients sont nuls ? Donc toutes les matrices du polynome aussi ?
En fait ce qui m'inquiete c que comme ca la demonstration tient en 3ou 4 lignes alors qu'elle est réputé pour etre super chaude...

[Moma]

Bonjour,
Si elle tient en quelques lignes seulement, c'est que celui qui l'a écrite ne mets pas en avant les difficultés d'écritures discutées ici, et passe assez vite sur les subtilités des polynômes à coefficients matriciels (qui ne sont a priori pas au programme de prépa où l'on ne voit que des polynômes à coefficients dans un corps).

Amicalement,
Moma