Théorème de Pythagore

[invitef6a8dd1c]

Bonjour à tous

Une petite question à propos du fameux théorème de Pythagore. Dans un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, la démonstration est simple. Mais dans le monde "réel" ?
Dans un plan, par exemple, dès que j'ai 2 vecteurs non-colinéaires, je peux définir un produit scalaire pour lequel ces vecteurs sont orthogonaux, et donc le théorème de Pythagore est valide.
Pourtant, si je dessine sur une feuille de papier deux vecteurs de bases qui ne sont pas "orthogonaux" (dans le sens où l'angle mesuré entre les 2 n'est pas de 90°), alors, je ne vérifie pas le théorème de Pythagore.
Ma question est donc de savoir pourquoi il y a une base "privilégiée" dans le monde réel, ou comment montrer qu'en mesurant avec une règle et un rapporteur, le théorème de Pythagore n'est valable que dans le cas usuel.
Je soupçonne qu'il y a une histoire d'angles là-dessous (des angles droits qui doivent être égaux, ce qui n'est pas le cas pour tous les produits scalaires), mais je n'arrive pas à conclure...

Si quelqu'un a une idée...

Merci,
Geoffrey
-----

[droupi]

Dans un plan, par exemple, dès que j'ai 2 vecteurs non-colinéaires, je peux définir un produit scalaire pour lequel ces vecteurs sont orthogonaux ...

Il me semble que le produit scalaire est justement ce qui définit l'orthogonalité de 2 vecteurs d'un espace vectoriel (par définition 2 vecteurs sont orthogonaux si (x|x) = 0) !

... et donc le théorème de Pythagore est valide.

Je ne crois pas, non. Il faut une notion supplémentaire.

Tout espace vectoriel muni d'un produit scalaire est un espace euclidien et il y a une infinité de produits scalaires définissant des notions d'orthogonalité différentes.

Mais notre espace réel est de plus orthonormé et la norme utilisée est justement ||x|| = (x|x)^1/2. Donc pas étonnant que le théorème de Pythagore soit valable pour notre monde réel, puisque c'est par définition.

Notre espace réel est définit par les postulats d'Euclide dont les droites parallèles et le théorème de Pythagore. D'un postulat tu démontres les autres, mais tu dois en choisir un. En général on part des droites parallèles, mais ci-dessus j'ai posé la norme d'où on déduit directement le théorème de Pythagore.

[droupi]

Il me semble que le produit scalaire est justement ce qui définit l'orthogonalité de 2 vecteurs d'un espace vectoriel (par définition 2 vecteurs sont orthogonaux si (x|x) = 0) !

Euh, évidemment, c'est (x|y) = 0....

[invitef6a8dd1c]

En fait, pour tout produit scalaire, comme tu le dis, l'orthogonalité est définie par le produit scalaire nul (x orthogonal à y si (x|y) = 0).
Mais la définition même du produit scalaire implique que pour x et y orthogonaux:
((x+y)|(x+y)) = (x|x) + 2*(x|y) + (y|y) = (x|x) + (y|y), soit le théorème de Pythagore.

Note que je n'ai pas fait d'hypothèse supplémentaire, juste un produit scalaire, et la norme associée.

Geoffrey

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Tout espace vectoriel muni d'un produit scalaire est un espace euclidien

Non, il faut aussi qu'il soit de dimension finie.

et il y a une infinité de produits scalaires définissant des notions d'orthogonalité différentes.

En dimension finie tous les produits scalaires sont équivalents.

La norme ne change rien ici, tant que l'on garde la norme associée au produit scalaire, le théorème de Pythagore reste valide:
(a+b)²=a²+b²+2ab = a²+b² si et seulement si ab=0
Il n'y a rien de transcendant ni de caché dans cette proposition.
(on voit d'ailleurs qu'il suffit d'avoir un espace muni d'un ps pour avoir l'égalité, et pas seulement un espace euclidien)

[Quinto]

En fait j'entend par là qu'une matrice représentative d'un produit scalaire dans un espace euclidien est congruente à toute les autres.

[droupi]

Oui, vous avez raison....
Il faut davantage se pencher sur la définition de la notion d'angle et du groupe d'angle. L'angle de deux vecteurs est l'angle d'une rotation unique, or cette rotation est une application linéaire, indirectement par la définition du groupe d'angle. Cela implique que 4 fois un angle droit égal un angle nul. Peu-être un début de réponse.

[Quinto]

Je pense que ta vision des choses est tronquée par ce que tu connais depuis tout petit sur les bases orthogonales, longueurs et projection.

[Quinto]

Moi j'ai appris qu'un angle nul, ca n'existe pas ...

[Theyggdrazil]

Citation:
Tout espace vectoriel muni d'un produit scalaire est un espace euclidien


Non, il faut aussi qu'il soit de dimension finie.

---> Il faut aussi qu'il soit réel Tant qu'à être rigoureux, autant l'être jusqu'au bout

[Quinto]

je croyais que ca avait été dit...
On recommence tout alors
Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel réel de dimension fini, muni d'un produit scalaire

Sinon je crois qu'il est question d'espace préhilbertien, dans le cas d'un corps complexe.

[doryphore]

Je rajoute que: un espace vectoriel préhilbertien complexe de dimension finie est un espace hermitien.

[droupi]

Moi j'ai appris qu'un angle nul, ca n'existe pas ...

Ah bon ! angle nul ~ a = 0 (congru 2 pi) n'existe pas ? Faut que tu expliques ce tu dis là.
Pas la peine de dériver sur les espaces vectoriels, puisque tout a été rectifié (mea culpa). Lisez les posts jusqu'au bout...
Je pense que la question de geof n'est pas si anodine et bête que cela (quoique que pas assez claire) et reste relative à la définition de l'angle et des rotations.

[doryphore]

Non sa question n'est pas anodine mais la réponse n'est pas mathématique.
En mathématique axiomatique, le monde réel est oublié.
Ainsi, on ne peut pas mathémathiquement définir d'angle sans avoir au préalable défini un produit scalaire et ainsi le fait de dire qu'on a choisi le produit scalaire qui correspond au fait que l'orthogonalité est représenté par un angle de 90° n'a aucun sens mathématique.

La réponse est plus d'un ordre physique et doit prendre en compte l'humain comme observateur.
L'humain interne à notre univers localement euclidien n'a d'autre choix que de constater que si on ajoute 2 angles droits on obtient un angle plat. Il n'a aucun moyen de savoir si ses angles droits ont la même mesure quelque soit la "direction" dans un hypothétique espace vectoriel euclidien de référence (qui n'existe probablement pas physiquement).

[Quinto]

Non je refléchissais juste sur l'angle nul en fait, j'avais peur de confondre, je crois que c'est l'angle d'un vecteur avec le vecteur nul qui n'existe pas.
C'est tellement loin tout ces trucs d'angle et d'espace euclidien que ma ptite mémoire me fait défaut (si jeune c'est pas normal...)

[droupi]

En mathématique axiomatique, le monde réel est oublié.
Ainsi, on ne peut pas mathémathiquement définir d'angle sans avoir au préalable défini un produit scalaire et ainsi le fait de dire qu'on a choisi le produit scalaire qui correspond au fait que l'orthogonalité est représenté par un angle de 90° n'a aucun sens mathématique.

Je comprends moyennement, là. Je veux bien admettre m'être égaré sur le produit scalaire. Mais un angle droit est bien une réalité mathématique ! Il est définit mathématiquement par sa valeur complexe ou par une matrice, correspondant à l'orthogonalité de deux vecteurs. C'est peut-être ce que tu voulais dire...

La réponse est plus d'un ordre physique et doit prendre en compte l'humain comme observateur.
L'humain interne à notre univers localement euclidien n'a d'autre choix que de constater que si on ajoute 2 angles droits on obtient un angle plat. Il n'a aucun moyen de savoir si ses angles droits ont la même mesure quelque soit la "direction" dans un hypothétique espace vectoriel euclidien de référence (qui n'existe probablement pas physiquement).

Là d'accord. Intrinsèquement à l'espace euclidien, quel qu'il soit, on ne pourra que conclure que 2 angles droits égal un angle plat. Que c'est alors un problème de mesure, d'accord également. Par contre qu'une mesure soit différente selon le point dans l'espace et la direction, il me semble que cela remettrait en cause le principe qu'il n'y ait pas de points privilégiés dans notre espace réel. Ce n'est bien sûr qu'un principe sur laquelle s'appuie la physique. Et il me semble que ce principe est essayé d'être montré par l'homogonéité et l'isotropie constatées dans notre univers.

[doryphore]

Un angle droit est bien une réalité mathématique dans un espace vectoriel euclidien donné(pour faire simple).

En revanche, il n'a aucune réalité intrinsèque et l'angle droit de la vie courante est simplement celui de notre espace vectoriel euclidien, celui dans lequel nous vivons.

L'angle défini dans le plan complexe n'a pas plus d'indépendance qu'un autre.
On identifie le plan complexe à un plan vectoriel euclidien avant de parler d'angle.
Idem pour les représentations matricielles.

D'un point de vue extérieur à notre univers, il est tout à fait possible de constater une anisotropie par rapport à l'espace euclidien "de référence" alors que de notre point de vue cette anisotropie n'existe pas.

Par exemple, considère un espace vectoriel de dimension 2 dont le produit scalaire est défini par deux vecteurs non orthogonaux par rapport à notre espace euclidien et imagine le comportement d'une équerre dont tu changes l'orientation.
De ton point de vue, tu vas voir l'équerre se déformer tandis que du point de vue d'un observateur interne à cet espace vectoriel, elle continuera à sembler la même.
On pourrait dire que l'isotropie est relative à l'espace vectoriel euclidien considéré.

[droupi]

Un angle droit est bien une réalité mathématique dans un espace vectoriel euclidien donné(pour faire simple).

En revanche, il n'a aucune réalité intrinsèque et l'angle droit de la vie courante est simplement celui de notre espace vectoriel euclidien, celui dans lequel nous vivons.

L'angle défini dans le plan complexe n'a pas plus d'indépendance qu'un autre.
On identifie le plan complexe à un plan vectoriel euclidien avant de parler d'angle.
Idem pour les représentations matricielles.

Bin oui, c'est ce que je disais en substance, non ?

D'un point de vue extérieur à notre univers, il est tout à fait possible de constater une anisotropie par rapport à l'espace euclidien "de référence" alors que de notre point de vue cette anisotropie n'existe pas.

Par exemple, considère un espace vectoriel de dimension 2 dont le produit scalaire est défini par deux vecteurs non orthogonaux par rapport à notre espace euclidien et imagine le comportement d'une équerre dont tu changes l'orientation.
De ton point de vue, tu vas voir l'équerre se déformer tandis que du point de vue d'un observateur interne à cet espace vectoriel, elle continuera à sembler la même.
On pourrait dire que l'isotropie est relative à l'espace vectoriel euclidien considéré.

Encore d'accord pour l'isotropie, mais il me semble que cela remettrait quand même en cause l'homogonéité constatée de l'univers, cad que les lois de la physique sont les mêmes partout dans notre espace.

[droupi]

Au fait, Geof est-ce qu'on répond à tes interrogations ?

[droupi]

Pourtant tu as raison de dire que tout cela n'a de sens que relatif à un autre espace vectoriel, ce qui n'a pas de sens pour notre espace réel. Je dois donc m'égarer inutilement

[invitef6a8dd1c]

Au fait, Geof est-ce qu'on répond à tes interrogations ?

Je n'ai pas encore la réponse, mais au moins, vous me rassurez, parce que la discussion prouve que ma question n'est pas si bête

Geoffrey

[doryphore]

En fait, tu ne peux pas choisir dans quel espace euclidien tu vis et c'est pourquoi le théorème de Pythagore ne fonctionne pour nous que dans le cas où l'angle droit est celui que nous connaissons.

[invite0bfce127]

Dans l'espace usuel, de dimension 3, il y a une notion naturelle de distance : étant donnés 2 points A et B, on peut mesurer leur distance. On appelle norme d'un vecteur vec(AB), la distance de A à B.
Il faut évidemment mettre l'unique produit scalaire associé à cette distance, c-à-d tel que
(vec(AB)|vec(AB)) = ||vec(AB)||^2.
Ce produit scalaire correspond à la notion d'orthogonalité intuitive.

[Rincevent]

Pourtant, si je dessine sur une feuille de papier deux vecteurs de bases qui ne sont pas "orthogonaux" (dans le sens où l'angle mesuré entre les 2 n'est pas de 90°), alors, je ne vérifie pas le théorème de Pythagore.

tu le vérifieras avec des normes et des angles calculés selon ton nouveau produit scalaire. Par définition, l'angle entre 2 vecteurs x et y est donné par

cos(theta) = <x,y> / (||x|| ||y||)

avec <,> qui est le produit scalaire et || || la norme associée. Cela montre d'ailleurs que comme le disait Quinto on ne peut pas définir l'angle entre un vecteur et le vecteur nul.

une fois que tu te donnes ton produit scalaire, tu auras donc des "angles droits" qui seront différents de ceux obtenus avec un autre produit scalaire (l'usuel par exemple).

des angles droits qui doivent être égaux, ce qui n'est pas le cas pour tous les produits scalaires

les angles droits sont toujours égaux. Simplement ce qui te paraît "droit" dépend du produit scalaire que tu as choisi: la mesure de l'angle dépend du produit scalaire, cf la formule que j'ai rappelée plus haut.

D'un point de vue extérieur à notre univers, il est tout à fait possible de constater une anisotropie par rapport à l'espace euclidien "de référence" alors que de notre point de vue cette anisotropie n'existe pas.

en disant cela tu munis le premier espace euclidien d'une autre structure métrique provenant de la projection de celle que tu as sur l'espace "global". Donc tout dépend des produits scalaires choisis.

Par exemple, considère un espace vectoriel de dimension 2 dont le produit scalaire est défini par deux vecteurs non orthogonaux par rapport à notre espace euclidien et imagine le comportement d'une équerre dont tu changes l'orientation. De ton point de vue, tu vas voir l'équerre se déformer tandis que du point de vue d'un observateur interne à cet espace vectoriel, elle continuera à sembler la même.

tout dépend de la façon dont il mesure les angles. Si son produit scalaire est celui qui est induit par la restriction du tien à son espace, vous serez d'accord.

On pourrait dire que l'isotropie est relative à l'espace vectoriel euclidien considéré.

elle est surtout relative au produit scalaire considéré. Mais justement en "physique" on définit l'isotropie (la vraie) comme le fait qu'il existe un système de coordonnées dans lequel les "choses" sont indépendantes d'un certain paramètre (ou de plusieurs selon la dimensionnalité de l'espace). En langage physico-mathématique on définira donc l'isotropie comme un cas particulier d'homogénéité.

en gros:

- est homogène un espace qui peut être associé à une famille d'isométries telles que pour tout couple (p,q) de points de cet espace il existe une isométrie par laquelle l'un est l'image de l'autre (cette famille doit aussi former un groupe de Lie)
- pour l'isotropie tu dois donc avoir que le groupe de Lie est compact, c'est-à-dire que la (ou les) variable(s) qui paramètre(nt) la famille prend (prennent) des valeurs dans un intervalle compact.

pour donner un peu plus de détails, tout ça se définit très bien pas uniquement pour des espaces vectoriels mais également pour des variétés riemanniennes, les isométries étant nommées "vecteurs de Killing".

[droupi]

C'est bien ce qui me semblait et ce que je disais au tout début, sauf que je me trompais concernant le théorème de Pythagore. Un espace vectoriel pour définir notre espace réel n'a pas de sens, mais est simplement utile pour se le représenter (pour commenter ce que je disais plus haut).
Il est cependant vrai que notre espace se suffisant par lui-même deux angles droits seront toujours égaux à un angle plat quel que soit l'espace vectoriel parce que cet angle est défini intrinséquement à l'espace vectoriel. Cela suffit je pense pour répondre à la question initiale de Geof.
Notre espace est cependant bien particulier en raison du produit scalaire utilisé qui définit la notion de distance et ce n'est pas le théorème de Pythagore qui permet de le caractériser. Pourtant je me méfie d'une notion naturelle et unique de distance, car cela voudrait dire que c'est une propriété intrinsèque de l'espace vectoriel. Et de cela, je ne suis pas sûr. Ce qui me fait douter et j'ai beaucoup de mal à le formuler. Quant à l'homogénéité de l'univers, il me semble toujours que c'est une conséquence d'un espace particulier.

[droupi]

Je me disais bien que Rincevent pouvait efficacement davantage nous élcairer.

[Rincevent]

je me méfie d'une notion naturelle et unique de distance, car cela voudrait dire que c'est une propriété intrinsèque de l'espace vectoriel.

et tu as bien raison. Dans le cas mathématique euclidien il existe un produit scalaire privilégié et donc plus ou moins une distance naturelle. Mais dans le monde réel, les notions de mesure de distance sont inévitablement liées aux ingrédients physiques que l'on considère. Par exemple, on dit souvent que la lumière se propage le long de trajectoires rectilignes, mais en fait, c'est l'inverse: par définition une ligne droite de l'espace dans lequel on est (si on oublie la relativité) est le trajet que suit la lumière. Car la lumière (de manière plus générale l'électromagnétisme) est quasiment notre seul outil pour mesurer des distances et des angles.

Mais dès que l'on quitte le cadre d'une modélisation euclidienne de l'espace pour entrer dans une modélisation riemannienne (ce qui est le cas en relativité), même si la lumière garde un rôle particulier, les notions de ligne droite et de distance n'ont plus rien à voir avec le cas euclidien et on se débarrasse vraiment de ces notions artificiellement naturelles.

Quant à l'homogénéité de l'univers, il me semble toujours que c'est une conséquence d'un espace particulier.

c'est avant tout une conséquence de la physique: on pourrait très bien vivre dans un espace qui ne soit pas homogène, c'est-à-dire tel qu'il n'existerait aucun systèmes de coordonnées dans lequel les propriétés observables semblent simples.

[doryphore]

tout dépend de la façon dont il mesure les angles. Si son produit scalaire est celui qui est induit par la restriction du tien à son espace, vous serez d'accord.

Il me semble que l'expérience que j'ai choisi visait justement à éviter d'utiliser le même produit scalaire (sa restriction au sous espace vectoriel considéré).

Les 2 vecteurs u et v que j'ai choisis non orthogonaux par rapport à "notre" espace euclidien visent à définir un autre produit scalaire par la relation (u|v)=0.

elle est surtout relative au produit scalaire considéré.

Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Dans la mesure où je travaillais avec des espaces vectoriels et non des variétés différentielles quelconques, c'est strictement équivalent.


Toutes tes précisions suivantes sur l'isotropie sont très intéressantes.

[Rincevent]

Il me semble que l'expérience que j'ai choisi visait justement à éviter d'utiliser le même produit scalaire (sa restriction au sous espace vectoriel considéré).

je suis d'accord, je voulais juste souligner le fait que l'introduction de dimensions supplémentaires n'est pas utile pour ce que tu voulais dire. Ce qui importe vraiment c'est qu'un angle est inévitablement lié à un produit scalaire donné.

Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Dans la mesure où je travaillais avec des espaces vectoriels et non des variétés différentielles quelconques, c'est strictement équivalent.

tu as raison. J'avais déformé la définition à la manière d'un physicien pas toujours très rigoureux....

[droupi]

et tu as bien raison. Dans le cas mathématique euclidien il existe un produit scalaire privilégié et donc plus ou moins une distance naturelle. ....... Mais dès que l'on quitte le cadre d'une modélisation euclidienne de l'espace pour entrer dans une modélisation riemannienne (ce qui est le cas en relativité), même si la lumière garde un rôle particulier, les notions de ligne droite et de distance n'ont plus rien à voir avec le cas euclidien et on se débarrasse vraiment de ces notions artificiellement naturelles.

Oui, mais je n'avais pas osé aller jusque là et me limitait eu cas euclidien. Donc ma question est donc pour ce dernier cas de savoir si à partir de la distance naturelle on peut définir un produit scalaire unique.