dérivées n-ièmes

[invite56f88dc9]

Bonjour.
J'ai des exercices sur les dérivées nèmes .
Je pensais que ce serait facile de conjecturer des formules en calculant les 1ers termes mais ce n'est pas le cas.
Mettez moi sur les pistes pour les dérivées nèmes suivantes :
1)y=1/(2x-3)

2)y=1/(ax+b) (avec a€ R*)

3)y=1/(1-x²)

4)y=(1+x)/(1-x)

5)y=1/(1-x²)

6)y=sin⁶x +cos⁶x +3sin²x cos²x

7)y=e^2xcos²x

Merci de me mettre sur les pistes.

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[invite9cf21bce]

Salut !

Pour 1) 2) 3) 4) tu peux utiliser le principe suivant :
La dérivée n^e de 1/(x+a) est facile à trouver.
On s'y ramène.

T'es sûr de ton 5) ? C'est le même que 3)... En tout cas même si c'est 1/(1+x²) tu peux encore utiliser le même principe.

Pour le 6) il y a une grosse astuce énorme. Pose X=sin²x et tu verras...

Pour le 7) j'ai essayé de tout mettre sous forme exponentielle.

Dans tous les cas sauf le 6), le principe général est :
les produits c'est pas bien, sauf lorsque le multiplicateur est une constante
les sommes c'est bien

[invite56f88dc9]

le 3) c'est 1/(1-x)² et le 5) c'est 1/(1-x²)

[invite56f88dc9]

je ne vois pas comment m'y ramener.
....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Par exemple pour le 2) tu écris que


Pour le 5) mon idée c'était de trouver et de sorte que


Mais bon, si tu n'as pas encore vu la décomposition en éléments simples, je reconnais que ça n'est pas très intuitif !

[invite56f88dc9]

oui on ne l'a pas encore vu mais l'a prof l'a évoqué vagument mais je vais travailler ce que tu dis

[invite56f88dc9]

mais je ne vois pas trop comment s'y ramer peux tu me corriger une des dérivées pour que je puisse m'en inspirer.

[invite9cf21bce]

D'accord.



donne par identification et

D'autre part, la dérivée n^e de 1/x est comme on le voit par une récurrence immédiate.
Les dérivées de 1/(x-1) et de 1/(x+1) sont du même acabit.

Donc la dérivée n^e de 1/(1-x²) est


Tu peux encore factoriser pour faire joli.