derivées

[invite5d82f28c]

Bonjour,
Comment diviser le nombre 120 en deux parties, telles que le produit d'une des parties par le carré de l'autre soit maximun
???
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[Scorp]

A mon avis, il faut commencer par paramétrer le problème. Genre poser x=120-t et y=t, pour . Puis définir f(t)=xy² etc... Je te laisse fnir. Perso, j'ai trouvé deux valeurs de t, dont l'une est un minimum et l'autre un maximum pour f. Mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste

[Scorp]

Tu peux même obtenir un résultat plus général en prenant un nombre A quelconque : Il existe une seule façon de diviser un nombre A (c'est toujours la même quelque soit ton nombre A) en deux parties telles que le produit de l'un par le produit du carré de l'autre soit maximum.

[chr57]

Tu peux même obtenir un résultat plus général en prenant un nombre A quelconque : Il existe une seule façon de diviser un nombre A (c'est toujours la même quelque soit ton nombre A) en deux parties telles que le produit de l'un par le produit du carré de l'autre soit maximum.

salut,

comment fait-on pour diviser ainsi A ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b9cdbca]

Comme l'a dit Scorp, en paramétrant ta division selon t :
on suppose x+y = A
On pose x=A-t et y=t
On prends
f(y) = xy², soit f(t)= (A-t)t² = At² - t^3
g(x) = x²y soit g(t) = (A-t)²t = A²t + t^3 - 2At²

On étudie les deux fonctions, on trouve les extremums
On note par exemple t₁ le max de f et t₂ le max de g.

On atroué alors la valeur t₀ cherchée en :
t₀ = max (t₁, t₂)

[Scorp]

oui c'est ca, sauf qu'il est inutil d'utiliser deux fonctions différentes puisque le paramétrage que tu fait au début est symétrique. Autant utiliser alors la fonction la plus simple qui doit être ici f(x,y)=xy².

[invite4b9cdbca]

Hehe, j'avais un doute là dessus parce que ça fait pas pareil avec xy² ou x²y...
En fait peut-être que ça donne la même chose, mais je cherche le maximum du prodt de l'un par le carré de l'autre avec un même paramétrage... Donc en fait je sais pas si c'est vraiment symétrique...
En fait je sais pas si je me suis fait comprendre...

[Scorp]

Hehe, j'avais un doute là dessus parce que ça fait pas pareil avec xy² ou x²y...
En fait peut-être que ça donne la même chose, mais je cherche le maximum du prodt de l'un par le carré de l'autre avec un même paramétrage... Donc en fait je sais pas si c'est vraiment symétrique...
En fait je sais pas si je me suis fait comprendre...

heu oui, je pense avoir compris ce que tu dis. VPour être sûr, j'ai calculé le maximum pour la deuxième fonction et on obtient bien la même chose qu'avec la première fonction.
Pour moi le paramétrage est symétrique dans le sens ou on pose x=A-t et y=t,
En effectuant le changement de variable u=A-t, on obtient x=u et y=A-u, ce qui fait qu'étudier ta deuxième fonction f(x,y)=x²y=(A-t)²t=u²(A-u) => ca te reviens a étudier l'extremum pout ta première fonction (la variable t et u sont en fait des variable muette, donc tes deux fonction x²y et xy² sont alors identique à un changement de paramétrage près). Bref, en utilisant tes 2 fonctions, tu étudi en fait 2 fois la même fonction.

[chr57]

on suppose x+y = A
On pose x=A-t et y=t

Merci des explications.
Mais à quoi sert de poser y=t ?

On pourrait garder x = A-y

[invite4b9cdbca]

Oui bien sûr, c'était un formalisme arbitraire de ma part, juste pour montrer qu'en fait pour paramétriser, parfois la relation entre y et x ne sont pas clairs (cf droite paramétrée dans le plan) alors ecrire x et y en fonction d'une autre variable t est intéressante.

[invitefaf7cb72]

je sai s pas j'ai essayer quelque calcul et est ce normal que pour que la valeur soi au maximum mon y doit etre le double de x
doncc si je decompose 120,sa me donne 40pour x et 80 y 80²x40 =256000 soi le maximum possible?

[chr57]

Oui bien sûr, c'était un formalisme arbitraire de ma part, juste pour montrer qu'en fait pour paramétriser, parfois la relation entre y et x ne sont pas clairs (cf droite paramétrée dans le plan) alors ecrire x et y en fonction d'une autre variable t est intéressante.

Ok, compris, merci.

je sai s pas j'ai essayer quelque calcul et est ce normal que pour que la valeur soi au maximum mon y doit etre le double de x
doncc si je decompose 120,sa me donne 40pour x et 80 y 80²x40 =256000 soi le maximum possible?

oui, je trouve aussi ce résultat
x = 40
et y = 80

(ou l'inverse)

Après avoir calculé la dérivée de f(t) et déduit les variations de la fonction, on trouve que f admet un maximum en t=y=80.

[invitefaf7cb72]

peut tu m'expliquer le chemin par lequel tu est arriver et les nombre de ton probleme j'aimerai bien comprendre cette demarche:P merci

[chr57]

peut tu m'expliquer le chemin par lequel tu est arriver et les nombre de ton probleme j'aimerai bien comprendre cette demarche:P merci

Soit la fonction, que citent auparavant Kron et Scorp :
f(t)=120t^2-t^3

On calcule la dérivée, on obtient :
f '(t)= -3t^2+240t

On cherche les solutions de f ' (t)=0
t1= 0
t2=80

On fait le tableau de signes (f ' est negatif à l'exterieur des racines).
Puis le tableau de variations de la fonction f(t) (f est croissante lorsque la dérivée est positive).

On voit que f(t) est croissant dans l'intervalle [0;80].
Donc f admet un maximum en t=y=80.

x=A-80= 40.

à+