Bonjour tout le monde, je révise les groupes et les anneaux en ce moment donc j'essaie de faire des exercices et il y a encore deux ou trois trucs sur lesquels j'ai du mal.
Tout d'abord on nous demande souvent de considérer le seul morphisme de groupe de G dans G' ou de déterminer tous les morphismes de groupe de G dans G' et j'aimerais une méthode générale pour savoir de quoi il s'agit.
Par exemple, on me dit de déterminer tous les morphismes Phi de Z/nZ dans (R,+) (n entier naturel non nul) et on me dit de considérer l'image de Phi pour m'aider.
Je me dis Im(Phi) sous groupe de (R,+), or les seuls sous groupes de R sont le groupe trivial et R lui même.
Et maintenant je fais quoi ????
J'imagine qu'il faut se servir des cardinaux ou écrire qu'il existe un isomorphisme entre gnzreklgnzrhgzoei.
Je n'y arrive pas !
Et tant que j'y suis, la seule loi valable pour Z/nZ est-elle l'addition ?
Autre problème :
On note A=Z[i.racine(2)]={x+i.y.racine(2) ; x et y dans Z}
Je dois montrer que si z appartient à A, alors |z|² appartient à N. Ok ça c'est pas dur.
Maintenant je dois montrer que
Z[i.racine(2)]*={ z appartient à Z[i.racine(2)] ; |z|=1 }
Ce sous groupe est le groupe des unités de A. Ici je note |.| le module d'un nombre complexe.
Comment montrer que ce maudit module de z vaut 1 ????
J'ai tourné tout ça dans tous les sens, et je n'arrive à rien.
Question suivante :
Si je dis que la caractéristique de l'anneau
Z/15Z x Z/21Z x Z/35Z est 11025, est-ce que j'ai juste ?
Je dis que 15, 21 et 35 sont premiers entre eux, donc Z/15Z x Z/21Z x Z/35Z est isomorphe à Z/11025Z.
Alors la, dans le cours, pour trouver la caractéristique d'un anneau A, il me dit de considérer l'unique morphisme de Z->A, donc ici de Z -> Z/11025Z
Etant donné que Z/Ker(Phi) est isomorphe à Z/11025Z et que Ker(Phi) est de la forme aZ, j'en ai déduit que a=11025 et a est la caractéristique de Z/11025.
Cela dit le seul morphisme dont il parle, c'est lequel exactement et pourquoi ?
Dernière question pour la route :
Résoudre X²=1 dans Z/nZ, ça veut dire quoi ?
X appartient à Z/nZ ok, mais le 1 c'est le 1 des entiers ? Où c'est un 1 de Z/nZ de l'espace tadagatsouintsouin ?
En fait je dois montrer que si n est premier, l'équation a deux solutions (exactement).
Je me suis dis que j'allais faire un truc de cochon genre je crée un morphisme de Z/nZ dans (et là je sais pas... (Z/nZ)² ????), puis dire que l'image de mon morphisme est un sous anneau de mon image, donc utiliser le fait que son cardinal divise le cardinal de mon image pis magouiller avec le fait que n premier et gnégnégné et gnégnégné !!!
Merci d'avance pour votre aide !
Cordialement.
Ganash
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, c'est pas un groupe ? Et ses sous-groupes ? Et 
Envoyé par Ganash 