Exercice sur les anneaux

[invite43219988]

Bonjour tout le monde !
Je bloque sur un exo dont voici l'énoncé :
Soit A un anneau commutatif associatif unitaire, NA l'ensemble des éléments nilpotents de A.

a) Montrer que NA est un idéal !
Ca c'est ok !

b) Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i)A ne possède qu'un seul idéal premier
ii)Tout élément de A est soit inversible soit nilpotent
iii)A/NA est un corps

ii)=>iii) :
Soit a un élément de a tel que sa classe dans A/NA est non nul.
a n'appartient pas à NA, donc a est inversible.
Il existe b appartenant à A tel que ab=ba=1
Il suffit de considérer la surjection canonique f de A dans A/NA qui est un morphisme d'anneaux et on obtient :
f(ab)=f(a)f(b)=f(b)f(a)=f(1)=1
Donc la classe de a dans A/NA est inversible. A/NA est un corps.

Pour iii)=>i) je ne vois pas.
J'ai quelques idées genre :
A/NA est un corps donc NA est maximal et premier.
Par l'absurde on peut supposer que I, idéal de A différent de NA, est premier.
J'avais envie de montrer que si a appartient à I, alors 1 appartient à I et donc I=A qui ne peut pas être premier puisque A n'est jamais premier (en tant qu'idéal de A).
Cela dit je n'arrive pas à le montrer.

i)=>ii)Bah on prend un élément de A qui ne soit pas nilpotent et on montre qu'il est inversible.
Je ne vois pas snif

Merci d'avance pour votre aide

[G13]

Bonsoir,

Pour i) => ii), je connais la solution, soit P l'ideal premier, les nilpotents sont l'intersection des ideaux premiers.
on prend x non nilpotent, x<>0 dans A/P donc (x)+P est soit egal à A/P soit est un ideal propre de A/P different de 0 donc est contenu dans un ideal maximal qui est donc premier. Or A n'admet qu'un seul ideal premier donc (x)+P=A.
Donc 1=ax+p.
Les nilpotents sont l'intersection des ideaux premiers donc comme il n'y a qu'un seul ideal premier p^n=0 donc (1-ax)^n=0 donc 1=bx donc x est inversible.

Pour iii) => i)
NA est maximal et est l'intersection des ideaux premiers donc il n'y a qu'un seul ideal premier NA.

[G13]

Pour i) => ii), soit x non nilpotent, soit I un ideal maximal parmi ceux ne rencontrant pas les x,x^2,x^3,...,x^n,... D'apres le lemme de Zorn, il existe vu que l'ideal nul ne les rencontre pas. I est alors premier vu que si ab appartient à I et pas a, ni b, il existe k tel que x^k appartient à (a)+I et x^l appartient à (b)+I (a cause de la maximalite de I). Donc x^(k+l) appartient à (a)(b)+I=I donc contradiction.
Donc I est premier donc c'est l'unique ideal premier donc l'unique ideal maximal donc x n'appartient à aucun ideal maximal vu qu'il n'appartient pas à I donc x est inversible.

Pour iii)=> i)
NA inclus dans tout ideal premier (vu que x^n =0 => x^n appartient à P donc x appartient à P) donc si NA maximal, tout premier est egal à NA.
Donc NA est l'unique ideal premier.

[invite43219988]

Merci beaucoup !
J'aimerais simplement une précision : comment démontre-t'on que NA est l'intersection des idéaux premiers ?

[G13]

Soit I l'intersection des ideaux premiers, NA l'ensemble des nilpotents.
NA est inclus dans tout ideal premier (x^n=0 => x^n appartient à P premier => x appartient à P) donc NA inclus dans I.
Soit x n'appartenant pas à NA, {x,x^2,x^3,...,x^n,...} ne rencontre pas 0, donc il existe des ideaux ne rencontrant pas S={x,x^2,....,x^n,...} (ici l'ideal nul (0)).
Soit J un ideal maximal pour la propriete de ne pas rencontrer {x,x^2,...,x^n,...}
Soit a,b n'appartenant pas à J, (a)+J rencontre S, de meme (b)+J rencontre S car J maximal pour la propriete.
ua+j=x^k avec j appartenant à J
vb+j'=x^m avec j' appartenant à J
donc
uvab+uaj'+vbj+jj'=x^(k+m)
Si ab appartient à J, x^(k+m) appartient à J donc contradiction.
Donc ab n'appartient pas à J.
Donc si a,b n'appartiennent pas à J, ab n'appartient pas à J, donc J premier.
Donc x n'appartient pas à J car J ne rencontre pas S. Donc il existe un ideal premier J tel que x n'appartient pas à J, donc x n'appartient pas à l'intersection des ideaux premiers.
Donc si x n'appartient pas à NA, x n'appartient pas à I, donc I inclus dans NA.

[invite43219988]

Génial merci beaucoup !

[invite43219988]

Allez je suis chiant une dernière fois
Après relecture :

Donc I est premier donc c'est l'unique ideal premier donc l'unique ideal maximal donc x n'appartient à aucun ideal maximal vu qu'il n'appartient pas à I donc x est inversible.

En quoi si un élément n'appartient à aucun idéal maximal, on peut dire qu'il est inversible ?
Si x n'appartient à aucun idéal maximal, c'est que le seul idéal possible contenant x est A (Evident d'après Krull). Il suffit alors de considérer l'idéal engendré par (x) et dire qu'il est nécessairement égal à A et donc 1=ax.

Ok c'est bon en fait.

Sinon j'ai une question toute conne mais qui me turlupine :
Pourquoi Z/2Z n'est pas un sous-groupe de Z/4Z ?

[ericcc]

C'est un sous groupe du groupe multiplicatif, pas du groupe additif.

[invite43219988]

Oui d'accord mais pourquoi ce n'en est pas un pour l'addition ?

[homotopie]

Oui d'accord mais pourquoi ce n'en est pas un pour l'addition ?

Si tu imposes que Z/2Z->Z/4Z soit le quotient de l'identité :
Z->>Z/2Z
l id l
v v
Z->>Z/4Z
il faudrait que ceci soit défini, or le noyau de (Z->>Z/2Z)=2 n'est pas dans le noyau de la composée (Z-id->Z->>Z/4Z) qui est 4Z.
Maintenant, il existe un sous-groupe de (Z/4Z,+) isomorphe à (Z/2Z,+) à savoir {classe de 0, classe de 2}.

[invite43219988]

Je n'ai pas du tout compris tes notations désolé
Z/2Z est inclu dans Z/4Z
Soit a,b appartient à Z/2Z
a-b appartient à Z/2Z
(a-b=0 ou a-b=-1=1 ou a-b=1)
Je ne vois pas ce qui ne va pas...

[invite43219988]

Je continue sur un autre exo (mais j'aimerais savoir ce qui ne va pas pour Z/2Z...)

-On note rad(A) (radical de Jacobson) l'intersection des idéaux maximaux de A.

Montrer que rad(A) est l'ensemble des x de A tels que pour tout a appartenant a A, 1-xa est inversible (dans A).

Solution :
-Soit x appartient à rad(A), x appartient à tous les idéaux maximaux de A.
Donc pour tout a appartient à A, ax appartient à tous les idéaux maximaux de A.
Maintenant, 1 n'appartient à aucun idéal maximal de A (sinon I=A, or A n'est pas maximal).
Donc 1-xa n'appartient à aucun idéal maximal de A.
Donc l'idéal engendré par 1-xa est égal à A et 1-xa est inversible.

Est-ce que c'est juste ?

[invite43219988]

Je continue :
J'ai montré que IJ inclu dans I inter J et je dois maintenant montrer que si I+J=A (I et J etrangers), on a égalité.
Je ne vois pas bien comment faire... J'ai essayé quelques trucs sans succès !

[invite43219988]

Soit a de I inter J
a appartient à I et a appartient à J
I et J sont étrangers, donc :
a=a.1=ax+ay ou x appartient à I et y appartient à J
Or ax appartient à IJ (puisque a appartient à J et x appartient à I) et ay appartient à IJ (puisque a appartient à I et y appartient à J)
Puisque IJ est un idéal (donc groupe pour l'addition), ax+ay=a appartient à IJ.

Pour l'exo d'avant, je sais que c'est bon mais j'aimerais savoir comment montrer que rad(A/rad(A))={0} !

[homotopie]

Pour l'exo d'avant, je sais que c'est bon mais j'aimerais savoir comment montrer que rad(A/rad(A))={0} !

Pour I inter J et IJ c'est bon.

Un élément non nul x' de A/rad(A) provient d'un élément x de A dont il existe un idéal maximal J de A qui ne contient pas x. Il ne reste plus qu'à fabriquer un idéal maximal I de A/rad(A) ne contenant pas x'.