Espace généralisé et forme de Jordan

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai un opérateur A de V (un vectoriel de dimension n = 10) avec



et si W2 désigne le sous espace généralisé associé à la valeur propre 2 (c'est à dire

alors :

Et de cette dernière donnée je suis sensé déduire que 3 est la taille du plus grand bloc de Jordan associé à la valeur propre 2.

Mais je ne vois pas bien comment. Je sais bien que Exp(A) est la taille du plus grand bloc de Jordan de A si A est nilpotente.
Je sais aussi que A|_W2 - 2Id est nilpotente

Mais je n'arrive malgré tout pas à relier ça au reste. Avez-vous une explication ?

merci
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Tout d'abord, je dois dire que je suis surpris par la notation Exp pour désigner un nombre, mais bon, je suppose que tu as vu ça dans ton cours...

Bref, sinon, remarque que d'après la forme du polynôme caractérisitque, associée à la valeur propre 2, le gros bloc de Jordan associé à 2 est de taille 5, et donc les petits blocs de Jordan ont une taille, au choix
1+1+1+1+1
2+1+1+1
2+2+1
3+1+1
3+2
4+1.
Par exemple, dans le premier cas, tu sais que A- 2I sur W2 est en fait nul.
Je te laisse discuter un peu les autres cas.

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rvz

[Bleyblue]

Tout d'abord, je dois dire que je suis surpris par la notation Exp pour désigner un nombre, mais bon, je suppose que tu as vu ça dans ton cours...

C'est la notation du cours oui

Bref, sinon, remarque que d'après la forme du polynôme caractérisitque, associée à la valeur propre 2, le gros bloc de Jordan associé à 2 est de taille 5, et donc les petits blocs de Jordan ont une taille, au choix
1+1+1+1+1
2+1+1+1
2+2+1
3+1+1
3+2
4+1.

Oui ça je savais bien mais il n'empêche que je ne vois pas le liens entre ça et l'exposant de l'opérateur (A - 2Id) réduit à W2.

Par exemple, dans le premier cas, tu sais que A- 2I sur W2 est en fait nul.

Pas nul tu veux dire nilpotent ?

merci !

[Bleyblue]

Mais dites, si j'ai un opérateur linéaire triangulable (et donc jordanisable) alors les m blocs de jordan a1, ... ,am ne sont en fait que les matrices des opérateurs linéaires réduits à leur sous espaces propres généralisés (i entre 1 et m) ?

Si c'est le cas alors ça répond à ma question. Est-ce toujours le cas ?

merci

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