Faux théorème

[Ruy]

Bonjour tout le monde,

Comme c'est mon premier post je me présente: je m'appelle Olivier et je suis en première année de math à l'université de Bruxelles.

Alors voilà mon problème, j'ai ici un faux théorème et je ne parviens pas à trouver où se cache l'erreur...

Si a est un nombre réel non nul, alors
a^n-1=1 pour tout entier n> ou égal à 1

Démonstration :

Procédons par récurrence (= induction) sur n.

Le théorème est vrai pour n=1 car

a^1-1=a⁰=1

Supposons (hypothèse de récurrence) qu'il soit vrai pour n=1,2,...,k et prouvons qu'il est encore vrai pour n=k+1

a^k+1-1=a^k=(a^k-1.a^k-1)/(a^k-2)=1.1/1=1 CQFD.

On m'a dit que l'erreur se situait dans le fait que le développement ne fonctionne pas avec k=1 (cela nous donne une tautologie), mais j'ai l'impression que dans ce cas, on prouve que l'énoncé est faux, et non pas qu'il y a une erreur dans la démonstration...!

Merci d'avance pour votre aide,

Olivier.
-----

[Bruno]

J'y connais rien mais en tant que confrère bruxellois je te souhaite la bienvenue sur les forums FS-génération ! J'espère que tu t'y plairas

Simple question: tu viens de quel école ? saint hubert ? nan ? ...

[Ruy]

Salut,

non je viens du lycée maria assumpta (sur laeken) désolé!

[invite4ef352d8]

Salut !


tu montre que si la propriété est vrai pour k et k-1, alors elleest aussi vrai pour k+1

il faut donc vérifié l'initalisation sur 2 rang succesif, et tu ne verifie que sur un seul, c'est pour ca que tu fais une erreur.

une autre facon de voir l'erreur, et tous simplement de voir que la preuve de l'hérédité ne marche pas pour montrer que a^1= 1 (tu fais intervenir a^(-1) dans le calcule qui n'est pas egal a 1... )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

Salut,

non je viens du lycée maria assumpta (sur laeken) désolé!

Oh ben on reste dans le catholique, c'est plus ou moins la même maison !

**FIN DU H-S**

[Gwyddon]

Salut,

Dans ton raisonnement quelque part tu as utilisé a^k-2. Donc il te faut, pour que le théorème soit démontré, que l'hypothèse de récurrence soit vérifiée pour l=k-1. Ce que tu as supposé effectivement. Mais dans ce cas, l'initialisation à k=1 ne suffit pas, il te faut aussi prouver l'initialisation à k=2 (puisque si l'on reprend ta démarche, tu as besoin et de l'hypothèse de récurrence sur k, et de l'hypothèse de récurrence sur k-1, donc déjà, il serait bon que ce soit vérifié pour les deux premiers indices).

Or a² = 1 pour tout réel est faux...

Bien sûr l'énoncé de départ est faux, mais l'erreur dans la démo consiste en cet oubli de vérifier l'initialisation pour k=2

[invite4ef352d8]

un autre exemple un peu du meme type :

Montrons par récurence sur n, que si on prend n point quelconque du plan alors ils sont aligné :

pour n=1 et n=2 le résultat est vrai.


supposons que le resultat est vrai pour n donné.

soit n+1 points quelconques a0,a1,a2..an.
ao,a1..an-1 sont aligné d'apres l'hypothese de récurence.
a1,..an sont aligné d'apres l'hypothese de récurence.
donc tous les ai sont sur la droite a1,an-1 : a0..an sont aligné !

et on conclu par récurence que si on prend n point quelconque du plan ils sont aligné.

(l'erreur est quasiement la meme)

[invite22a185a6]

Bonsoir,
ton problème vient je pense du terme en 1/a^(k-2) qui ne permet pas de passer de n=1 a n=2,
aurevoir

[Ruy]

il faut donc vérifié l'initalisation sur 2 rang succesif, et tu ne verifie que sur un seul, c'est pour ca que tu fais une erreur.

désolé mais je ne vois pas ce que tu veux dire en disant qu'il faut vérifier n'initialisation sur 2 rangs successifs

[Ruy]

Bonsoir,
ton problème vient je pense du terme en 1/a^(k-2) qui ne permet pas de passer de n=1 a n=2,
aurevoir

bonjour,

celà ne fait-il pas partie de l'hypothèse?

[Gwyddon]

Bien sûr que non... De toute façon pour t'en convaincre, essaye d'appliquer l'hypothèse de récurrence au cas k=3. Tu verras tout de suite le souci.

[Ruy]

Bonjour,

Je crois avoir compris mais j'y réfléchirerai encore un coup ce soir et demain.

j'avais également vu le faux-théorème donné par Ksilver et j'avais eu le même problème... mais quel est le souci dans ce cas-là?

[Gwyddon]

Fais plutôt une bonne nuit et revois tout ça que demain, ca ira mieux