Proba / state

[invite0876edde]

Bonsoir a tous. Je débute un peu en proba et j' ai un peu de mal a résoudre un exercice, pourriez m' aider un peu ??

En fait cet exercice est un simple lancé de déà 6 faces.
On lance le dé "6n" fois et la proba de tomber sur sur un face est p (=1/6 dans la suit d l' exo) .

Xn v.a.r représente le nombre de fois que 6 appararait au cours des 6n lancers. (on utilise une loi de Binomial B(6n,p) et p=1/6 ).

La 1er question est: donnez l' espérance et la variance.

Pourriez m' expliquer commer la calculer ?? (j' ai pas tout compris :s)

La 2iem question est:
En utilisant l' inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer la plus petite valeurs de n pour laquelle on a plus d' un chance sur 2 d' obtenir une fréquence d' apparition de 6 qui s' écarte de moin de 10^-2 de la valeur 1/6.

1)
Bon j' ai les réponses donc ce que j' attend de votre part est plus une explication ...

Espérance = 6np
Variance = 6npq (q = 1-p )


2)
Le prof démarre avec
P(|Xn/6n - 1/6| > 10^-2 ) > 1/2

(j' aimerais juste comprend comment il fait pour partir de la !)
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Pour la variance, je voulaire partir de la définition:

E(X)=[Somme sur i de 1 a 6n] Xi*Pi

avec Pi = C(6n,i)*p^i * q^(6n-i)
et Xi = 6 (6 parce que c' est la face que je veux avoir)

Voila, vous etes mon seul espoir

Merci a tous et bonne soirée
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[GuYem]

Salut, nous ne sommes pas ton seul espoir.

D'une manière générale l'espérance et la variance d'une loi binomiale de paramètres n et p sont respectivement np et np(1-p).
Cela vient de calculs connu : essaye par exemple de calculer
somme(k=0..n) k * C(n,k) p^k (1-p)^(n-k) par récurrence sur n pour te rendre compte que ça fait bien np.
Pour la variance c'est un peu pareil mais en plus compliqué.

Pour la deuxième question, ton prof part de ça puisque C'EST l'inégalité de Tchebytcheff, peut-être un peu arrangée mais c'est elle.
Connais-tu l'inégalité de Tchemachin ?

[invite986312212]

salut,

tu as deux façons de calculer la moyenne et la variance de la loi binomiale. Soit tu pars de l'expression des probas élémentaires comme te l'indique GuYem, soit tu remarques qu'une variable qui suit la loi binomiale de paramètres n et p est la somme de n variables suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. Calculer la moyenne et la variance de la loi de Bernoulli est trivial et tu sais que la moyenne d'une somme est la somme des moyenne et la variance d'une somme de v.a. indépendantes est la somme des variances.

[invite0876edde]

Ok
Désolé si je ne vous ai pas répondu tout de suite.
J' ai appliqué ce que vous m' avez dit et en plus je suis allé voir quelques livres et je pense avoir parfaitement compris cet exercice.

Merci beaucoup pour votre aide

@ bientot

[A voir en vidéo sur Futura]