Somme d'une série

[SigMunDFrEuD]

Bonjour je rencontre quelques difficultés avec les séries et j'aimerais que vous m'aidiez pour calculer la somme de cette série : 1/n(n+1)(n+2) en la décomposant en éléments simples. Merci d'avance.

[martini_bird]

Salut,

tu as la méthode : trouve les coefficients a, b, c tels que



Cordialement.

[Eogan]

Ah je me souviens de cet exercice (Vive les CCP!). J'avais aussi trouvé la décomposition, mais après le télescopage n'est pas évident... Je crois que tu dois utiliser un double télescopage

[SigMunDFrEuD]

ca je l'ai déja fait avant ^^ je trouve a = 1/2 b=-1 c=1/2
Mais c'est après, en essayant d'utilisant les sommes partielles de chaque série 1/2n, -1/n+1, 1/2(n+2), Je n'arrive pas à trouver vers quoi tend ma serie.

[Ksilver]

Salut !

apres c'est une somme téléscopique, mais c'est un peu subtil à voir car les terme ne s'élimine pas deux a deux mais avec des regroupement un peu plus compliqué... (si tu écrit les premier terme de la somme tu vera que de nombreuse fraction ce simplifi et qu'il ne reste pas grand chose à la fin ^^)

mais il y a une forme un peu plus simple que de décomposer completemnt en élement simple :

2/(n(n+1)(n+2)) = 1/(n(n+1))-1/(n+1)(n+2)

et la le télescopage est déja plus évident (c'est directement sous la formeAn-An+1 !

[SigMunDFrEuD]

Je cite "mais il y a une forme un peu plus simple que de décomposer completemnt en élement simple :

2/(n(n+1)(n+2)) = 1/(n(n+1))-1/(n+1)(n+2)

et la le télescopage est déja plus évident (c'est directement sous la formeAn-An+1 !"

Merci beaucoup je pense avoir trouvé :
J'arrive donc a 1/n(n+1)(n+2) = 1/2[1/(n(n+1))-1/(n+1)(n+2)]
Puis avec le "télescopage" (je pense que c'est ce que j'appelle les dominos...)
j'arrive 1/(n(n+1))-1/(n+1)(n+2) -> 1/2 (en effet les termes
s'annulent excepté le 1/2) qd n-> inf
Donc la Somme de ma série initiale tend vers 1/2*1/2 = 1/4
Merci beaucoup
PS: C'est juste au moins ? J'espere ne pas m'être enflammer pour rien.

[Eogan]

Oui j'ai le corrigé sous les yeux, c'est bien ça! Par contre ce qui est énervant avec ce genre d'astuce, c'est qu'une fois qu'on les donne elles paraissent évidentes, alors que le jour du concours...

[Ksilver]

tous a fait ! encore sur cette serie on peut s'en sorti avec le dévelopement en élement simple (le calcule est juste un plus compliqué)...

mais si on donne la version somme des 1/n*(n+1)*...*(n+k), la sans la petit astuce que j'ai utilisé plus haut, on ne peut absoluement rien faire !