equation differentielle du type F''(x)=ksin(F(x))

[invitedb325deb]

Bonjour,

Pour la determination d'une trajectoire (point materiel de masse M deposé sans vitesse initiale sur un cylindre de rayon b, devalant sans frottement le long d'une section du cylindre), je me retrouve avec une equation differentielle du type F''(x)=ksin(F(x)), et là c'est la panique car ne sachant pas resoudre ce type d'equation avec les outils de premiere année de physique à la fac, je me demande si j'ai bien posé mon systeme (en fait j'ai tout exprimée en base polaire et j'ai utilisé le 2eme principe de Newton sachant que je n'ai comme force que le poids et la reaction normale du support, cette reaction annule le poids suivant l'axe radiale ne laissant qu'une composante orthoradiale responsable du deplacement, seulement, cette composante est du type Psinµ avec µ, l'angle entre l'axe radiale et la verticale).
L'exercice offre une piste en proposant de factoriser la projection de la second loi de Newron sur l'axe orthoradiale par µ.
Aidez moi, par pitié !!!
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[invitedb325deb]

j'ai d'ailleurs remarqué qu'il est question sur un autre fil de ce type d'equation soi-disant insoluble...mais personne ne donne de solution alors qu'il est possible de determiner les caracteristiques d'une telle fonction solution...

[invite4ef352d8]

Salut !

je suppose que k est négatif ?

c'est l'équation du pendul !

en géneral, en physique on la résoud en faisait l'approximation sin(y) = y., et on trouve donc que la solution est une sinusoide.

sinon dans le cas ou y n'est pas "petit" la solution n'est pas exprimable par des fonctions usuelle. mais ca n'empeche pas de pouvoir l'étudiée. la solution peut par exemple s'exprimer par les fonction éliptique de Jacobie.

pour la physique, une Exelente aproximaton est de considérer que la solution est effectivement une sinusoide, mais en appliquant un corectif à la période.

l'etude des fonction de Jacobie permet de montrer que T = To/M(1,cos(a/2))
ou a désigne l'amplitude de la solution,To la péeriode au petit angle (en faisait l'aproximation sin(y)=y ) et M(a,b) la moyenne de gauss (aussi appelé moyenne arithmetico-géométrique) de a et b..

[invite6b1e2c2e]

Salut,

On peut résoudre ça implicitement. Tu multiplies par f' et tu intègres : Tu obtiens deux énergies, l'une cinétiquet l'autre potentielle, et tu t'aperçois que la somme des deux est constante. S'en suit que ton objet suit une trajectoire fermée dans le diagramme de phase (si l'énergie initiale est petite) ou infinie (si énergie trop grande, ce qui correspond à mettre une énergie initiale trop grande au début).

Tu en déduis que si ta trajectoire est fermée, elle est périodique, et tu peux estimer sa période.

Cette méthode ne contient pas d'approximation.

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rvz

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