Question de cours topo

[invite870bfaea]

Bonjour tout le monde,
alors j'ai quelques questions de cours que le prof a ommis de faire et donc j'ai pensé à vous et j'espère que vous allez m'aider .. ça serait gentil !
1/ Montrer que la coupe d'un fermé de R^(m+n) selon un point X dans R^m est un fermé de R^n puis aussi que la coupe d'une partie bornée de R^{m+n} selon X dans R^m est une partie bornée de R^n . que dire de la coupe d'une partie compacte ?

2/ Soit gamma une partie compacte de R^m et delta une partie compacte de R^n . Montrer que leur produit cartésien gamma x delta est un compact de R^(m+n)

Merci d'avance !
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[indian58]

On se sert du fait que dans R^k un compact est un fermé borné.
2) borné: y a qu'à écrire
fermé: idem

1) tu pourrais reformuler l'énoncé?

[invite35452583]

1/ Montrer que la coupe d'un fermé de R^(m+n) selon un point X dans R^m est un fermé de R^n puis aussi que la coupe d'une partie bornée de R^{m+n} selon X dans R^m est une partie bornée de R^n . que dire de la coupe d'une partie compacte ?

Pour l'aspect fermé, {X}xR^n est un fermé comme image réciproque du point X de la projection R^(m+n)->>R^m. (Si cet aspect projection n'a pas été vu, la caractérisation séquentielle convient aussi, c'est moins élégant c'est tout, Y_p de XxR^n converge vers Y dans R^(m+n), on a assez facilement que Y est dans XxR^n)
Maintenant la coupe est est donc un fermé comme intersection de deux fermés.

Pour l'aspect borné, la coupe est inclus dans un borné donc est borné (on prend le max sur quelque chose de plus petit).

Pour le 2) on peut aussi le voir ainsi : le produit de deux compacts est compact (inclus dans R^(m+n) est évident).

[invite870bfaea]

OK ! Je vais regarder ceci de plus près et je revienderais poser des questions au cas où !

Merci beaucoup a vous deux !

[A voir en vidéo sur Futura]