Systèmes d'équations non linéaires

Aragorn_54 · 20/02/2007 - 12h54

Bonjour à tous,

Étant amené dans mes calculs à simplement devoir résoudre le système

$\left\{\begin{array}{llll}a^2\ +\ b^2\ +\ c^2\ +\ d^2\ =\ 2\\a^2\ +\ b^2\ -\ (c^2\ +\ d^2)\ =\ 0\\ac\ +\ bd\ =\ 0.4\\ad\ +\ bc\ =\ 0.1\end{array} \right.$

j'ai réalisé que je ne connais pas de méthode systématique, du type résolution matricielle, pour le résoudre.

Étant donné son apparente simplicité (extrême), la seule solution est-elle quand même de recourir à des méthodes d'approximation telles celles de Newton-Raphson ?

http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...i/21sysnli.htm

Je vous remercie vivement d'avance pour votre avis sur la question qui, à l'origine, n'était qu'une formalité.

ericcc · 20/02/2007 - 14h16

Tu peux le résoudre analytiquement : les deux premières équations donnent a²+b²=1=c²+d².
Tu poses ensuite a=cost, b=sint, c=cost', d=sint'.
Les deux dernières équations deviennent
cos(t-t')=0.4
sin(t+t')=0.1
D'où les solutions

Aragorn_54 · 20/02/2007 - 14h41

Merci beaucoup pour ta réponse, je n'avais pas pensé à passer en cos et sin ^^

(nb: je tiens à dire que le a²+b²=1=c²+d², je l'avais quand même, hein

)

Hormis une telle solution pour un tel cas particulier, n'y a-t-il pas de méthode analytique systématique ? (c'était à vrai dire, surtout ce problème de méthode générale qui attisait ma curiosité et qui m'a poussé à poster sur le forum ^^)

ericcc · 20/02/2007 - 15h04

Pour la méthode systématique dans un système non linéaire, je ne sais pas. Mais ceux similaires au tien doivent pouvoir se traiter de la même manière...

Aragorn_54 · 20/02/2007 - 15h28

D'accord, merci encore pour ton aide.

Seulement, je me suis trompé en écrivant mon énoncé : à la dernière équation, il s'agissait d'un "-" en lieu et place du "+" et, dans ce cas, si ma trigonométrie ne me joue pas des tours (^^), je me retrouve avec
cos(t-t') = 0,4
sin(t'-t) = -sin(t-t') = 0.1
ce qui semble poser problème ^^

Je vais encore y regarder..

*et je suis toujours preneur s'il existe une méthode générale

*

Taar · 20/02/2007 - 16h04

Salut !

Il faudra que tu précises ce que tu acceptes comme "méthode générale".

Prends par exemple l'équation générale de degré 6 :
ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0
En posant y=x³ et z=x², elle se ramène au système :

ay²+byz+cz²+dxz+ex²+fx+g=0
z=x²
y=xz

Ou bien, si tu veux un système à premier membre homogène de degré 2 :

ay²+byz+cz²+dxz+ex²+fxt+gt²=0
zt-x²=0
yt-xz=0
t²=1

Donc, si tu trouves une méthode pour ce système, ta méthode permet de résoudre l'équation générale de degré 6 (dans le cas "homogène", prendre les solutions à t=1). Or jusqu'à présent, personne ne sait faire ça (sauf en fabriquant des fonctions "ad hoc").

mariposa · 20/02/2007 - 16h38

Envoyé par Aragorn_54

Bonjour à tous,

Étant amené dans mes calculs à simplement devoir résoudre le système

$\left\{\begin{array}{llll}a^2\ +\ b^2\ +\ c^2\ +\ d^2\ =\ 2\\a^2\ +\ b^2\ -\ (c^2\ +\ d^2)\ =\ 0\\ac\ +\ bd\ =\ 0.4\\ad\ +\ bc\ =\ 0.1\end{array} \right.$

j'ai réalisé que je ne connais pas de méthode systématique, du type résolution matricielle, pour le résoudre.

Étant donné son apparente simplicité (extrême), la seule solution est-elle quand même de recourir à des méthodes d'approximation telles celles de Newton-Raphson ?

http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...i/21sysnli.htm

Je vous remercie vivement d'avance pour votre avis sur la question qui, à l'origine, n'était qu'une formalité.

Bonjour,

A tout hasard. Les quaternions pourraient-ils être une technique?

martini_bird · 20/02/2007 - 16h59

Envoyé par mariposa

Bonjour,

A tout hasard. Les quaternions pourraient-ils être une technique?

Bof... Mis à part la première équation, les autres s'interprètent mal en terme de quaternions.

Vue la symétrie du problème, il est assez immédiat de passer par la trigo, comme ericc l'a indiqué en #2.

Cordialement.

mariposa · 20/02/2007 - 17h02

Envoyé par martini_bird

Bof... Mis à part la première équation, les autres s'interprètent mal en terme de quaternions.

Vue la symétrie du problème, il est assez immédiat de passer par la trigo, comme ericc l'a indiqué en #2.

Cordialement.

C'était à tout hasard.

championnet · 04/03/2007 - 19h18

Il y a une technique générale pour résoudre des sytèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues, de degré supérieur à 1 (donc avec des x^2, ou des x*y^2, etc.).

Le problème, quand tu essaye de faire un truc qui ressemble à l'élimination de gauss dans ce cas, c'est que tu n'as pas vraiment de division euclidienne de polynômes multivariés. (en fait, plus précisément, tu n'as pas vraiment unicité du reste et du quotient).

Le plan, c'est de faire de l'élimination de gauss quand même, en utilisant un outil qui s'appelle les bases de Gröbner. Le mot-clef, c'est Gröbner. En gros, avec ça, tu peux ramener ton système à des équations polynômiales à une seule inconnue.

Les détails de la théorie, c'est de la géométrie algébrique que je ne maitrîse pas trop. Mais par contre, d'un point de vue calculatoire, c'est assez lourd, puisque le calcul des bases de Gröbner prend un temps doublement exponentiel en la taille du système.....

En pratique, sur le corps à 2 élements, on arrive à quelque chose...