système d'équations non linéaires

[invitec5b86fa9]

Bonjour

je cherche à trouver l'intersection d'un cercle avec un sinusoïde. Le centre du cercle(x_i,y_i )se trouve sur la sinusoïde. le rayon (r) est inferieur à la demi periode de la sinusoïde.

Je d'abord cherché à paramétrer mes courbes :

pour la sinusoïde
x = t/k
y = A(1 - cos(t))

pour le cercle
x = r * sin(t') + x_i
y = r * cos(t') + y_i

si j'égalise j'ai un système assez complexe et je n'ai pas trop d'idée pour le résoudre. Les idées (changement de variables "intelligent", méthode particulière, etc.) sont les les bienvenues

t - k* r * sin(t') = x_i
A * cos(t) + r * cos(t') = A - y_i

Merci
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[edpiste]

en coordonées cartésiennes, on a

y=A(1-cos(kx)) et (x-xi)^2 + (y-yi)^2 = r^2 donc x vérifie

(x-xi)^2 + (A(1-cos(kx))-yi)^2 = r^2

dont les solutions ne peuvent être obtenues que numériquement à mon avis.

[ericcc]

Tu peux simplifier en prenant le l'origine comme centre du cercle, et en utilisant l'égalité 1-cos(2a)=2sin²(a)
Tu obtiens



Après je pense effectivement que les méthodes numériques sont nécessaires

[invitec5b86fa9]

Bonjour,

merci pour les simplifications, je vais aller voir du coté de Newton-Raphson pour trouver des solutions.

Bonne continuation

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5b86fa9]

Bonjour,

je viens de vérifier les simplifications et j'ai un doute.

si tu prends le centre du cercle comme origine : X = x - x_i et Y = y - y_i

X² + Y² = r² pour le cercle

et pour la sinosoïde :

Y = A(1 - cos(k*(X+x_i))) - y_i

ça fait que quand tu remets le Y dans le cercle, il te reste le terme en y_i et x_i.

En gros ça donnerait plutôt :

X² + (2A sin²(k/2 (X+x_i)) - y_i)² = r²

[ericcc]

J'ai simplifié en posant xi=yi=0

[invitec5b86fa9]

Salut,

bah en fait tu peux, mais ça ne répond pas au problème générale qui veut que justement on se balade sur la sinusoïde de point en point.

Parce que le point d'intersection que je trouverais sera x_i+1 et je recommencerais le processus.

Voila, ça fait une équation un peu plus compliqué, mais pour le moment on fait une méthode par dichotomie parce que ça nous parait plus simple à implémenter.

[Tamouma]

Bonjour,
Je voudrai bien que vous m'aidiez à résoudre le système non linéaire suivant:
ax^2y+2bxy+cx-dy+e=0
axy^2+by^2-fx+cy=0
où a,b,c,d,e,f>0.
Merci.