Equation différentielle linéaire du second ordre

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème à propos de ce type d'équations ; parce que dans un de mes cours, j'ai la démonstration des solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre sans second ordre, mais il y a quelques points qui me titille :

On considère l'équation :

En posant , on obtient l'équation caractéristique .

Là il y a déjà quelque chose qui me chagrine : comment sait-on que la fonction est de forme exponentielle, et plus précisément de forme ?

Sinon je continue : dans le cas où , on a les deux solutions du trinôme du second degré précédent qui sont et , en considérant que l'on a posé pour simplifier l'écriture.

En toute logique, l'équation différentielle devrait avoir deux solutions que sont respectivement les expressions suivantes :

et

Pourtant, lorsque je regarde mon cours en question, je m'aperçoit qu'il est noté que la solution de l'équation est , avec A et B les constantes d'intégrations, ce qui correspond à la somme de mes deux solutions.

Alors je suis un peu perdu...Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitec053041c]

Oui tu as de quoi être dérouté!
Je reprend tout depuis le début:

Donc tu as ton eq diff linéaire du second ordre dela forme:


Soit ton équation caractéristique:


Si est ta racine double.Alors ta solution est de la forme

si tu as 2 solutions réelles ou complexes (conjugués) et .
Dans les deux cas:

Pour le cas de racines réelles de ton eq caractéristique, les solutions restent telles qu'elles.
En revanche, pour un , on préfèrera passer en combinaison linéaire de cosinus et sinus, étant donné qu'à la base notre équa diff n'a pas de raison de faire apparaître des complexes.

Je m'explique , tu as
avec tous complexes. En touillant et en prenant la partie réelle de tout celà tu te retrouves dans le cas avec une solution de la forme (sans perdre à l'idée que tes racines sont complexes conjugués, donc ont même partie réélle)


Sinon, savoir pourquoi les solutions sont de cette forme...eh bien parceque ça marche! J'ai une sorte de démonstration dans mon cours, mais c'était avant qu'on fasse les espaces vectoriels. Et je pense qu'en remarquant que l'ensemble des solutions de cette éq diff formaient un ev, il fallait trouver une base appropriée pour exprimer ces fonctions...je ne saurais t'en dire plus.

[invitec053041c]

Excuse-moi, en facteur de la solution en cosinus et sinus, c'est un , j'avais oublié le x.
(c'est ce terme en facteur de tes cosinus et sinus qui va constituer ton enveloppe d'amortissement dans un régime RLC amorti (pléonasme!)).

Aussi, il est à noter que sont des constantes à déterminer grâce aux conditions initiales.

J'espère avoir été clair...

[Seirios]

Tout d'abord merci pour ton explication aussi détaillée, mais il y a encore quelques points que je ne comprends pas :

Lorsque on a donc la solution , mais d'où vient exactement ce ?

Et lorsque , pourquoi la solution est de type ?

Est-ce ce que l'on doit accepter parce que "ça marche", et attendre d'avoir plus de connaissance pour entrevoir la raison ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Eh bien,on sait que les solutions de cette équation différentielle forment un espace vectoriel de dimension 2.
Donc on doit chercher une base à cet espace vectoriel.Il s'avère que les exponentielles semblaient foncionner plutôt bien, donc on a posé avec r solution de et on a regardé quelles conditions vérifiait r (selon le cas où le discriminant est nul ou non etc...)
Après, je ne saurais pas vraiment te dire comment on a trouvé qu'il fallait une solution en exponentielle ou pas, toujours est-il que ça marche, peut-être quelqu'un peut-il répondre?

[Rincevent]

pour "voir" comment sort la fonction exponentielle faut faire un peu d'algèbre linéaire. Une équation linéaire du second ordre peut se réécrire sous la forme d'un système de 2 équations du 1er ordre. En revenant à la première équation donnée par Phys2, on peut donc écrire ce système sous une forme vectorielle :



avec V qui est un vecteur à deux composantes et [A] une matrice 2x2. Plus précisément, on a :



et

la matrice A a pour première ligne (0 , 1 ) et comme seconde ligne (-b , -2a).

On "voit" alors que si V a une forme exponentielle (ou combinaison d'exponentielles bien choisies), ça marche, à condition que l'argument de l'exponentielle vérifie une certaine équation qui n'est autre que l'équation caractéristique. Tout ça peut se démontrer proprement mais l'idée est là (enfin, j'ai laissé de côté de cas du discriminant nul mais il s'explique bien aussi dans le cadre de l'algèbre linéaire)

[Seirios]

Merci Rincevent pour cette explication Malheureusement je ne suis pas encore arrivé à ce niveau en algèbre linéaire (je suis en train d'étudier les espaces vectoriels), mais je garde ton explication de côté

Maintenant pourquoi a-t-on les solutions et plutôt que et deux solutions et lorque ?

[invite64f95163]

Pour la forme caractéristique de l'equation il s'agit de ce que l'on appelle une transformée de Fourier.
La transformée de Fourier permet de transformer certaines equations differentielles linéaires en equations algébriques.

[invitec053041c]

Tu veux dire transformée de Laplace non?

[chwebij]

oui, ca revient quasi au même car avec laplace on a solution del 'equa diff comme avec Fourier ou

[invitec053041c]

D'accord, au temps pour moi!
Je ne savais pas qu'utiliser le au lieu de p s'appellait transformation de fourrier, j'appellais ça seulement l'analyse harmonique

[invite5f448492]

En fait, y a moyen de retrouver ces formules sans algèbre linéaire, en se ramenant à une équation du premier ordre, grâce à une fonction annexe.

[invite4b9cdbca]

Quand l'équation caractéristique a une racine double, notons la r, tu sis que tu as une solution de la forme exp(rx)
Alors tu appliques la méthode de variation de la constante : tu cherche une solution de ton équation sous la forme exp(rx)*z(x), où z est inconnue.
Tu dérives une, puis deux fois.
Tu réinjectes dans ton équation, et tu te rends compte (ô miracle) que tu obtiens une équation de la forme z" = 0
Reste à intégrer 2 fois z" et à vérifier que (exp(rx) ; exp(rx)*z(x) forme bien une famille libre.

Tu peux essayer de le faire, si tu comprends pas on t'expliquera.